دانشكده علوم
پايان‌نامه کارشناسي ارشد در رشته رياضي محض(گرايش هندسه)
حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي و بالابرها در فضاهاي پوششي
به کوشش:
آمنه نوروزي
استاد راهنما:
دکتر محمد‌رضا فرهنگ‌دوست
شهريور ماه 1391
به نام خدا
اظهار نامه
اينجانب آمنه نوروزي دانشجوي رشته رياضي گرايش هندسه دانشگاه شيراز اظهار مي‌کنم که اين پايان نامه حاصل پژوهش خودم بوده و در جاهايي که از منابع ديگران استفاده کرده‌ام نشاني دقيق و مشخصات کامل آن را نوشته‌ام. هم‌چنين اظهار مي‌کنم که تحقيق و موضوع پايان نامه‌ام تکراري نيست و تعهد مي‌نمايم که بدون مجوز دانشگاه دستاوردهاي آن را منتشر ننموده و در اختيار غير قرار ندهم. کليه حقوق اين اثر مطابق آيين نامه مالکيت فردي و معنوي متعلق به دانشگاه شيراز است.
نام و نام خانوادگي: آمنه نوروزي
تاريخ و امضاء:
اين مجموعه را به رسم قدر‌شناسي و سپاس قلبي
به استوارترين پشتوانه‌ي زندگي،
پدرم
و به دل‌انگيزترين رايحه‌ي مهر،
مادرم
تقديم مي‌کنم
تا بدانند چه اندازه ارج مي‌نهم نگاه نگرانشان را بر صحنه‌ي زندگيم
و
تقديم به همسر عزيزم
به پاس محبت‌هاي بي‌دريغش
سپاسگزاري
خدايا از تو سپا‌سگزارم که حتي براي دمي مرا به خود وا نگذاشته‌اي.
اکنون که به لطف و ياري پروردگار اين تحقيق به پايان رسيده است، از پدرو مادر عزيزم که در تمام دوران تحصيل در کنارم بودند، همسر مهربانم که بدون حمايت‌هاي بي‌دريغ ايشان ادامه راه ممکن نبود، و خواهر عزيزم که در تمام مراحل زندگي و تحصيل همواره دوست و حامي من بودند، از صميم قلب سپاسگزارم. برخود لازم مي‌دانم که از استاد راهنماي بزرگوارم جناب آقاي دکتر محمد‌رضا فرهنگ‌دوست، که با همراهي‌ها و همدلي‌ها، راهنمايي‌هاي ارزشمند وزحمات غيرقابل جبران خود، همواره پشتيبان من بودند، از صميم قلب سپاسگزاري ‌کنم و از ايزد يکتا، آرزوي سلامتي و موفقيت روزافزون ايشان را دارم.
از استادان مشاور محترمم، جناب آقاي دکتر بهمن طباطبايي و جناب آقاي دکتر محمد مهدي ذکاوت، که هيچ‌گاه راهنمايي‌ها و داشته‌هاي خود را از من دريغ نفرمودند و زحمت مطالعه‌ي اين پايان‌نامه را بر عهده داشتند، قدرداني مي‌نمايم. از هم‌کلاسي خوبم، جناب آقاي معارف‌پرور، به خاطر تمامي همراهي‌ها و کمک‌هاي بي‌دريغشان کمال تشکر را دارم و از خداوند براي ايشان عاقبتي نيکو مسئلت دارم.
در نهايت از تمامي عزيزاني که هر يک با قدمي يا قلمي و يا سخني در عبور از اين مسير سبز، با ياري خود مرا مرهون محبت‌هايشان نمودند، سپاس فراوان دارم تا باشد که روزي جبران نمايم.
اميد است که اين پايان‌نامه مورد استفاده‌ي دانشجويان گرايش‌هاي مختلف رياضي، به‌خصوص دانشجويان گرايش هندسه قرار گيرد و زمينه‌ي رشد، تعالي و گسترش شاخه‌هاي رياضي در کشور عزيزمان ايران اسلامي را فراهم آورد، انشاءالله…
چکيده
حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي و بالابرها در فضاهاي پوششي
به كوشش:
آمنه نوروزي
دراين پايان‌نامه به بررسي ساختارهايي از گروه‌وارها، گروه‌وارهاي توپولوژيکي، حلقه- گروه‌وارهاي توپولوژيکي، ريخت‌هاي بين آنها، پوشش‌هاي گروه‌وارها و حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي و بالابر‌ها در اين زمينه مي‌پردازيم. نشان مي‌دهيم که مجموعه‌ي کلاس‌هاي هموتوپي از تمام مسيرها در يک حلقه‌ي توپولوژيکي، يک شيء حلقه‌ي توپولوژيکي مي‌باشد. با فرض اين‌که X?X ?:P يک نگاشت پوششي و X يک حلقه‌ي توپولوژيکي باشد، نشان مي‌دهيم رسته‌يUTRCov(X) از پوشش‌هاي Xکه در آن هر دوي X و X ? داراي پوشش‌هاي جهاني هستند و رسته‌ي UTRGdCov(?_1 X) از پوشش‌هاي حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي ?_1 X، که در آن X وR ?_0=X ? داراي پوشش‌هاي عمومي هستند، هم‌ارز مي‌باشند، که در مقاله‌ي ” حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي و بالابر‌ها ” توسط “فتيح ازکن، ايسن و هابيل گورسوي” در سال 2006 بررسي شده است.
فهرست مطالب
عنوان
صفحهفصل اول: مقدمه1تعاريف و قضاياي استنادي4فصل دومگروه‌وارها و گروه‌وارهاي توپولوژيکي15فصل سومعمل‌گروه‌وار و کاربرد آن در R-فضاها42فصل چهارمحلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي 63فصل پنجمرستهها و بالابرها85منابع 93واژه‌نامه فارسي به انگليسي97واژه‌نامه انگليسي به فارسي103
فهرست نمودارها
عنوان و شماره صفحهنمودار112نمودار221نمودار339نمودار439نمودار551نمودار652نمودار753نمودار860نمودار965نمودار1080نمودار1182نمودار1288
فصل اول
مقدمه
مفهوم گروه‌وارها در هندسه ديفرانسيل در سال 1950 توسط اريزمن1 مطرح شد که در واقع تعميمي از گروه‌ها مي‌باشد.يکي از نظريه‌هايي که بر مبناي گروه‌وارها مي‌توان ساختارهاي آن را مشخص کرد، نظريه‌ي فضاهاي پوششي است. اين نظريه يکي از مهم‌ترين نظريه‌ها در توپولوژي جبري است که با مطالعه‌ي رسته‌ها، گروه‌وارها و روابط بين آن‌ها در فضاهاي پوششي، مفهوم پوشش بامعنا مي‌شود که اين روابط توسط براون2، هاردي3، آيسن4 و موسوک5 در مراجع [2,6,9,10,14,16]، مورد بررسي قرار گرفته است. در سال 1971، هايگنز نشان داد نظريه‌ي گروهوارهاي پوششي نقش مهمي را در عملکرد گروه‌وارها ايفا مي‌کنند. در اين نظريه دو نتيجه‌ي مهم و کليدي وجود دارد که بررسي توپولوژيکي اين دو نتيجه، در سال 1976 توسط براون و هاردي در مرجع [2]، بيان شده است. طي اين بررسي براون در سال 2006 در مرجع [1]، هم‌ارزي رسته‌ي TCov(X) از پوششهاي توپولوژيکي X و رسته‌ي GdCov(?_1 X)از گروه‌وارهاي پوششي گروهوار بنيادي ?_1 X را براي فضاي توپولوژيکي X که داراي پوشش جهاني مي‌باشد، نشان داد.
در سال 1998، در مرجع [14]، موسوک نظريه‌ي حلقه-گروه‌وار را تعريف کرد. علاوه بر آن ثابت کرد که براي حلقه‌ي توپولوژيکي X، ?_1 X يک حلقه-گروه‌وار مي‌شود. سپس هم‌ارزي رسته‌ي TRCov(X) از پوشش‌هاي حلقه‌اي توپولوژيکي X و رسته‌ي RGdCov(?_1 X) از پوشش‌هاي حلقه-گروه‌واري ?_1 X را نشان داد.

در فصل اول اين پايان‌نامه، مفاهيمي از توپولوژي جبري مانند هموتوپي، هموتوپي‌راهي و اولين گروه بنيادي را بيان مي‌کنيم. سپس تعاريفي از نگاشت‌هاي پوششي، بالابرها، رسته‌ها و تابعگون‌ها مي‌آوريم و در آخر به مفاهيمي از فضاهاي توپولوژيکي، گروه‌ها وحلقه‌ها مي‌پردازيم.
در فصل دوم، گروه‌وارها و گروه‌وارهاي توپولوژيکي را معرفي مي‌نماييم، سپس مفاهيمي از هموتوپي و اولين گروه بنيادي روي گروه‌وارها را مورد بررسي قرار مي‌دهيم.
در فصل سوم، عمل گروه‌وار Rروي يک مجموعهمانند S، مدول‌ ضربي گروه‌واري وR-فضاها را مطرح مي‌کنيم و نشان مي‌دهيم رسته‌ي TCov(R) از پوشش‌هاي توپولوژيکي، با رسته‌ي TOp(R) از R- فضاها هم‌ارز مي‌باشد.
در فصل چهارم، حلقه-گروه‌وارهاي توپولوژيکي، ايده‌آل‌هاي حلقه-گروه‌واري و قضاياي مربوط به آن‌ها مورد بحث قرار مي‌گيرد. همچنين در اين فصل، ثابت مي‌شود که گروه‌وار بنيادي ?_1 X، يک حلقه-گروه‌وار توپولوژيکي است که از اين مطلب در فصل پنجم براي تعريف رسته‌ها و هم‌ارزي بين آن‌ها استفاده مي‌شود.
در فصل پنجم به معرفي رسته‌هايي در فضاهاي پوششي و همچنين رسته‌هايي از پوشش‌هاي گروه‌واري مي‌پردازيم و به کمک بالابرها هم‌ارزي بين UTRCov(X)، که يک زيررسته‌ي کامل از TRCov(X) مي‌باشد و UTRGdCov(?_1 X) که يک زيررسته‌ي کامل از TRGdCov(?_1 X) مي‌باشد، را نشان مي‌دهيم. در نهايت نگاشت بالابرنده روي گروه‌وارهاي پوششي را تعريف مي‌کنيم.

تعاريف وقضاياي استنادي
تعريف 1-1. توپولوژي گردايه‌اي مانند ? از زيرمجموعه‌هاي Xاست که در شرايط زير صدق مي‌کند.
1- ? و X متعلق به ? ‌باشند.
2- اجتماع اعضاي هر زيرگردايه‌ي ?، متعلق به ? ‌باشد.
3- مقطع اعضاي هر زيرگردايه‌ي متناهي ?، متعلق به ?‌ باشد.
تعريف 1-2. فضاي توپولوژيک
مجموعه‌ي Xرا که براي آن توپولوژيي مانند ? مشخص شده است، فضاي توپولوژيک مي‌ناميم.
تعريف 1-3. پايه‌ي يک توپولوژي
فرض کنيد X يک مجموعه باشد. يک پايه‌ي توپولوژي‌ در X گردايه‌اي از زيرمجموعه‌هاي X (موسوم به اعضاي پايه) مي‌باشد به‌طوري‌که:
1- به ازاي هر x?X، دست‌کم يک عضو پايه مانند B شامل x موجود است.
2- اگر x متعلق به مقطع دو عضو پايه مانند? B?_1و B_2 باشد، آن‌گاه عضوي از پايه مانند B_3 وجود دارد به طوري‌که x?B_3 و B_3?B_1?B_2.
تعريف 1-4. اگر B پايه‌ي توپولوژي در Xباشد، آن‌گاه ?، توپولوژي توليد شده به وسيله‌ي B، چنين تعريف مي‌شود:
زيرمجموعه‌ي U از X را در X باز گوييم(يعني عضوي از ? باشد)، اگر به‌ازاي هر x?U، عضوي از پايه مانند BB? وجود داشته باشد به طوري‌که x?B و B?U.
بنابر تعريف بالا، هر عضو B در X باز است، بنابراين ??B.
تعريف 1-5. توپولوژي حاصل‌ضربي
فرض کنيد X وY دو فضاي توپولوژيک باشند. توپولوژي حاصل‌ضربي در X×Yتوپولوژي است که پايه‌ي آن گردايه‌ي B متشکل از همه‌ي مجموعه‌هايي به صورت U×Vاست که در آن Uزيرمجموعه‌ي بازي از Xو Vزيرمجموعه‌ي بازي از Yاست.
قضيه 1-6. اگر B پايه‌اي براي توپولوژي Xو C پايه‌اي براي توپولوژي Yباشد، آن‌گاه گردايه‌ي
D={B×C?B?B,C?C}
پايه‌اي براي توپولوژي X×Yاست.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 114 مراجعه کنيد.
تعريف 1-7. توپولوژي زيرفضايي
فرض کنيد X يک فضاي توپولوژيک با توپولوژي? باشد. اگر Yزيرمجموعه‌اي از Xباشد، گردايه‌ي
?_Y={Y?U?U??}
يک توپولوژي در Yاست و به توپولوژي زيرفضايي موسوم است. با اين توپولوژي، Yرا يک زيرفضاي Xمي‌خوانند.
لم 1-8. اگر B پايه‌اي براي توپولوژي Xباشد، آن‌گاه گردايه‌ي
B_Y={B?Y?B?B}
پايه‌اي براي توپولوژي زيرفضايي است.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 116 مراجعه کنيد.
قضيه 1-9. اگر Aزيرفضايي از Xو Bزيرفضايي از Yباشد، آن‌گاه توپولوژي حاصل‌ضربي در A×B همان توپولوژيي است که در A×Bبه عنوان يک زيرفضاي X×Y القاء مي‌شود.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 118 مراجعه کنيد.
تعريف 1-10. نگاشت خارج‌قسمتي
فرض کنيد Xو Yدو فضاي توپولوژيک باشند و p:X?Yنگاشتي پوشا باشد. نگاشت pرا يک نگاشت خارج‌قسمتي خوانيم در صورتي‌که هر زير‌مجموعه‌ي Yمانند Uدر Yباز است اگر و فقط اگر ? p?^(-1) (U)در Xباز باشد.
تعريف 1-11. توپولوژي خارج قسمتي
اگر X يک فضا، Aيک مجموعه و p:X?Aيک نگاشت پوشا باشد، آن‌گاه تنها يک توپولوژي ? در Aوجود دارد که p نسبت به آن، نگاشت خارج‌قسمتي است. اين توپولوژي به توپولوژي خارج‌قسمتي القاء شده توسط pموسوم است.
البته توپولوژي ? چنين تعريف مي‌شود که آن را متشکل از زيرمجموعه‌هايي مانند Uاز Aمي‌گيريم که ? p?^(-1) (U)در Xباز باشد.
تعريف 1-12. توپولوژي جعبه‌اي
فرض کنيد ? {X_? }?_(??I)خانواده‌ي انديس‌داري از فضاهاي توپولوژيک باشند. گردايه‌ي همه‌ي مجموعه‌هاي به صورت ?_(??J)?U_? را که به‌ازاي هر ?، مجموعه‌ي ? U?_?در ? X?_?باز است، به عنوان يک پايه براي توپولوژي‌اي در فضاي حاصل‌ضربي ?_(??J)?X_? اختيار مي‌کنيم. توپولوژي توليد‌شده به وسيله‌ي اين پايه را توپولوژي جعبه‌اي مي‌ناميم.
تعريف 1-13. مقايسه‌ي توپولوژي جعبه‌اي و حاصل‌ضربي
يک پايه‌ي توپولوژي جعبه‌اي در ??X_? ، همه‌ي مجموعه‌هاي به شکل ??U_? است که در آن به‌ازاي هر ?، مجموعه‌ي ? U?_?در ? X?_?باز است. توپولوژي حاصل‌ضربي در ??X_? ، همه‌ي مجموعه‌هاي به شکل ??U_? است که در آن به‌ازاي هر ?، مجموعه‌ي ? U?_?در ? X?_?باز است و به‌ استثناي عده‌اي متناهي از ? ها، U_? مساوي ? X?_?است.
نکته 1-14. براي حاصل‌ضرب‌هاي متناهي اين دو توپولوژي دقيقاً يکي هستند.
تعريف 1-15. نگاشت پيوسته
اگر به‌ازاي هر x?Xو هر همسايگي f(x)مانند V، يک همسايگي xمانند Uيافت شود به طوري‌که f(U)?V، آن‌گاه نگاشت f:X?Yرا پيوسته گوييم.
قضيه 1-16. فرض کنيد X، Yو Zفضاهاي توپولوژيک باشند.
1- اگر A زيرفضايي از Xباشد، آن‌گاه تابع احتواي j:A?Xپيوسته است.
2- اگر f:X?Yو g:Y?Zپيوسته باشند، آن‌گاه تابع مرکب gof:X?Zنيز پيوسته است.
3- اگر تابع f:X?Yپيوسته و A زير‌فضايي از Xباشد، آن‌گاه تابع تحديد ? f?|_A:A?Yنيز پيوسته است.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 139 مراجعه کنيد.
تعريف 1-17. فرض کنيد ?_1:X×Y?X با ضابطه‌ي ? ??_1 (x,y)=xو ?_2:X×Y?Y با ضابطه‌ي ? ??_2 (x,y)=yتعريف‌شده باشند. نگاشت‌هاي ? ??_1و ?_2، به‌ترتيب نگاشت‌هاي تصويريX×Y به روي عوامل اول ودوم خوانده مي‌شوند.
لم 1-18. نگاشت‌هاي تصويري ? ??_1و ?_2، پيوسته و پوشا مي‌باشند.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ي 115 مراجعه کنيد.
قضيه 1-19. لم چسب
فرض کنيد X=A?Bو A و Bدر Xبسته باشند. به علاوه، فرض کنيد f:A?Yو g:B?Yپيوسته باشند. در اين‌صورت اگر به ازاي هر x?A?B، داشته باشيم f(x)=g(x)، آن‌گاه مي‌توان fو gرا با هم در‌آميخت تا تابع پيوسته‌ي h:X?Yرا به‌دست آورد که به‌ازاي x?A، به‌صورت h(x)=f(x)و به‌ازاي x?B، به‌صورت h(x)=g(x)تعريف شود.
برهان. به مرجع [17]، مراجعه کنيد.
تعريف 1-20. نگاشت همئومورفيسم
فرض کنيد X وY دو فضاي توپولوژيکي باشند و تابع f:X?Yتناظري دوسويي باشد. اگر fو تابع معکوس آن f^(-1):Y?X، هر دو پيوسته باشند، آن‌گاه f را همئومورفيسم مي‌خوانيم.
تعريف 1-21. هموتوپي
فرض کنيم f و? f?^?نگاشت‌هاي پيوسته‌اي از فضاي X به فضاي Y باشند. f را با ? f?^?هموتوپ گوييم در صورتي‌که نگاشت پيوسته‌اي مانند F:X×I?X موجود باشد به‌طوري‌که به‌ازاي هر x?X، داشته باشيم:
F(x,0)=f(x) , F(x,1)=f^? (x)
جايي‌که I=[0,1]. نگاشت Fرا يک هموتوپي بين f و ? f?^?مي‌ناميم. اگر f با ? f?^?هموتوپ باشد مي‌نويسيم f?f^?.
تعريف 1-22. مسير در فضاي توپولوژيکي
اگرf:[0,1]?X نگاشت پيوسته‌اي باشد به‌طوري‌که f(0)=x_(0 )و f(1)=x_1، گوييم fمسيري در X از ? x?_0به ? x?_1است. همچنين ? x?_0را نقطه‌ي آغاز و ? x?_1را نقطه‌ي انجام مسير fمي‌ناميم.
تعريف 1-23. هموتوپ‌راهي
مسيرهاي f و? f?^?که بازه [0,1] را به فضاي Xمي‌نگارند، هموتوپ‌راهي گوييم در صورتي‌که هر دو داراي نقطه‌ي آغازي ? x?_0ونقطه‌ي انجامي ? x?_1باشند ونگاشت پيوسته‌اي مانندF:I×I? Xموجود باشد به‌طوري‌که به‌ازاي هر s,t?Iداشته باشيم:
F(s,0)=f(s) , F(s,1)=f^? (s)
F (0,t)=x_0 , F(1,t)=x_(1 )
Fرا يک هموتوپ‌راهي بين fو ? f?^?مي‌ناميم. اگر fبا? f?^? هموتوپ‌راهي باشد مي‌نويسيم f?_p f^?.
لم 1-24. رابطه‌هاي ? و?_p روابط هم‌ارزي هستند.
برهان. به مرجع [17]، صفحه 320 رجوع کنيد.
تعريف 1-25. کمند در فضاي توپولوژيکي
فرض کنيد Xيک فضاي توپولوژيکي و ? x?_0نقطه‌اي از آن باشد. مسيري درX که از x_0شروع و به ? x?_(0 )منتهي مي‌شود، يک کمند بر پايه‌يx_(0 ) ناميده مي‌شود.
تعريف 1-26. اگر fمسيري در Xازx_0 بهx_1 وg مسيري ديگر درX ازx_1 بهx_2 باشد، آن‌گاه f*gترکيبf وg را به عنوان مسيري مانند h با تساوي زير تعريف مي‌کنيم:
h(s)={?(f(2s) s?[0,1/2]ازاي به@g(2s-1) s?[1/2,1]ازاي به)?
تعريف 1-27. اولين گروه بنيادي
مجموعه رده‌هاي هموتوپي‌راهي کمندهاي بر پايه‌ي x_0، با عمل* اولين گروه بنياديX نسبت به نقطه‌ي‌ پايهx_(0 ) ناميده مي‌شود. اين گروه را با ?_1 (X,x_0)نمايش مي‌دهيم.
تعريف 1-28. فرض کنيد p:E?B يک نگاشت پيوسته و پوشا باشد. گوييم مجموعه‌ي باز Uاز Bبه وسيله‌يp به طور هموار پوشانده مي‌شود هرگاه تصوير عکس ? p?^(-1) (U)را بتوان در Eبه صورت اجتماعي از مجموعه‌هاي باز جدا از هم ? V?_?نوشت به طوري‌که به‌ازاي هر ?تحديد p بهV_(? ) همئومورفيسمي ازV_(? ) به روي Uباشد. هر يک از مجموعه‌هاي ? V?_? را يک قاچ ? p?^(-1) (U)مي‌ناميم.
تعريف 1-29. نگاشت پوششي
فرض کنيد p:E?B يک نگاشت پيوسته و پوشا باشد. اگر هر نقطه‌ي bازB داراي همسايگي مانند Uباشد که به وسيله‌ي pبه‌طور هموار پوشانده شود آن‌گاه pرا يک نگاشت پوششي و Eرا يک فضاي پوششي Bمي‌ناميم.
تعريف 1-30. بالابر
نگاشت p:E?Bرا در نظر مي‌گيريم. فرض کنيد fيک نگاشت پيوسته از فضايي مانند Xبه توي Bباشد. نگاشت f ?:X?B را يک بالابرf گوييم در صورتي‌که .pof ?=f
لم 1-31. فرض کنيم p:E?Bيک نگاشت پوششي باشد و p(e_0 )=b_0. هر مسير در Bبا نقطه‌ي آغاز b_0، مانند f:[0,1]?B، داراي بالابر يکتايي به مسيرf ? با نقطه‌ي آغازي ? e?_0مي‌باشد.
برهان. به مرجع [17]، صفحه 336 رجوع کنيد.
تعريف 1-32. پوشش جهاني
اگر Eيک فضاي همبند ساده و p:E?B يک نگاشت پوششي باشد، آن‌گاه E را يک فضاي پوششي جهانيB مي‌ناميم.
اگر B همبندراهي موضعي باشد و p:E?Bوp^?:E^??B دو فضاي پوششي همبند‌ساده‌ي Bباشند، آن‌گاه همئومورفيسمي مانند h:E?E^?موجود است که p^? oh=p.
تعريف 1-33. رسته
رسته‌اي مثل Cخانواده‌اي متشکل از اشياء است با اين ويژگي که
1- به ازاي هر دو شي مثل Aو B مجموعه‌اي متناظر مي‌شود که با ?hom?_C (A,B)(مجموعه‌ي ريخت‌هاي از Aبه B) نشان داده مي‌شود و داراي اين خاصيت است که به‌ازاي هر چهار شيءA، B، CوD که (A,B)?(C,D)،
?hom?_C (A,B)??hom?_C (C,D)=?
2-به‌ازاي هر سه شيء مثل A، Bو C، تابع
k:?hom?_C (B,C)×?hom?_C (A,B)??hom?_C (A,C) , (g,f)?gf
موجود است که
(i به‌ازاي هر چهار شيءA ، B، Cو D، اگرf??hom?_C (A,B)، g??hom?_C (B,C)و h??hom?_C (C,D)، آن‌گاهho(gof)=(hog)of .
(ii به‌ازاي هر شيء مثل A، عضوي از?hom?_C (A,A) مثل ? 1?_Aموجود است که به‌ازاي هر عضو از ? hom?_C (A,B) مثل fو هر عضو از?hom?_C (C,A) مثل g، داشته باشيم:
fo1_A=f , 1_A og=g
تعريف 1-34. تابعگون
فرض کنيد C و D دو رسته باشند. تابعگون همورد (پادورد) از C به D زوجي متشکل از دو تابع است: يکي تابع شيء که به هر شيء از C مثل A، شيء F(A)ازD را نسبت مي‌دهد و ديگري تابع ريختار که آن را نيز با F نشان مي‌دهيم و به هر ريختار از C مثل f:A?B، ريختاري از D مثل F(f):F(A)?F(B) (F(f):F(B)?F(A)) نسبت مي‌دهد که
1- به‌ازاي هر شيء از C مثل A، .F(1_A )=1_(F(A))
2- به‌ازاي هر دو ريختار از C مثل f:A?Bو g:B?C، داشته باشيم
F(gof)=F(g)oF(f)
(F(gof)=F(f)oF(g))
تعريف 1-35. يکريختي طبيعي
فرض کنيدF وG تابعگون‌هايي از رسته‌ي C به رسته‌ي D باشند. تبديل طبيعي ?:F?G، تابعي است که براي هر شيء aاز C، ريخت ? ??_a:F(a)?G(a)از D را چنان نسبت مي‌دهد که به‌ازاي هر ريخت f:a?bاز C، G(f)o?_a=?_b oF(f). به‌عبارت ديگر نمودار زير جابه‌جايي است:

نمودار1.
اگر براي هر a?C، ? ??_aيکريختي باشد، آن‌گاه ? را يکريختي طبيعي مي‌ناميم.
تعريف 1-36. هم‌ارزي رسته‌ها
اگر تابعگون‌هاي F:C?Dو G:D?C و يکريختي‌هاي طبيعي ?:FoG??id?_Dو ?:GoF??id?_Cموجود باشند، رسته‌هاي Cو D را هم‌ارز گوييم.
قضيه 1-38. فرض کنيد Gيک گروه و Hزيرمجموعه‌اي غيرتهي از Gباشد. در اين‌صورت H?G (H زير گروه G است) اگر و فقط اگر به‌ازاي هر a,b?H، داشته باشيم ab^(-1)?H.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنيد.
قضيه 1-40. فرض کنيد (R,+,?)يک حلقه و Sيک زيرمجموعه‌ي غيرتهي از Rباشد. در اين‌صورت Sيک زيرحلقه از Rاست اگر وفقط اگر
1- به‌ازاي هر a,b?S، a-b?S.
2- به‌ازاي هر a,b?S، ab?S.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنيد.
نکته1-41. اگر R و ? R?^?دو حلقه باشند، با تعريف ضرب‌ گروهي (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)، ضرب‌ حلقه‌اي (a,b)(c,d)=(ab,cd)و (-a,-b) به عنوان معکوس گروهي (a,b)، جايي‌که -aمعکوس a در Rو -bمعکوسb در ? R?^?مي‌باشد و همچنين با درنظر گرفتن (e,e^? )به عنوان عنصر هماني R×R^?، جايي‌که eعضو هماني Rو ? e?^? عضو هماني? R?^?مي‌باشد، R×R^? نيز يک حلقه است.
تعريف 1-42. همريختي گروهي
فرض کنيد (G,?)و (H,*)دو گروه باشند. يک تابع f:G?Hرا يک همريختي از گروه Gبه گروه Hنامند اگر به‌ازاي هر a,b?G، f(a?b)=f(a)*f(b).
تعريف 1-43. همريختي حلقه‌اي
فرض کنيد (R,+,?)و (R^?,?,?) دو حلقه و f:R?R^? يک تابع باشد. در اين‌صورت fرا يک همريختي حلقه‌اي از Rبه ? R?^?گوييم اگر به‌ازاي هر a,b?R،
1- .f(a+b)=f(a)?f(b)
2- . f(ab)=f(a)?f(b)
تعريف 1-44. فرض کنيد (R,+,?)يک حلقه و Iيک زيرحلقه از Rباشد. در اين‌صورت
1- اگر به‌ازاي هر r?Rو هر a?I، ra?I، I را يک ايده‌آل چپ Rگوييم.
2- اگر به‌ازاي هر r?R و هر a?I، ar?I، I را يک ايده‌آل راست Rگوييم.
3- اگر I هم يک ايده‌آل چپ و هم يک ايده‌آل راست R باشد، I را يک ايده‌آل Rگوييم.
فصل دوم
گروه‌وارها و گروه‌وارهاي توپولوژيکي
تعريف 2-1. گروه‌وار
يک گروه‌وار، يک رسته است که تشکيل شده از دو مجموعه‌ي R وR_(0 )که به‌ ترتيب مجموعه‌ي ريخت‌ها ومجموعه‌ي اشياء گروه‌وار ناميده مي‌شوند به همراه نگاشت‌هاي زير:
1- دو نگاشت ?:R?R_0 و ?:R?R_0 که به‌ ترتيب نگاشت‌هاي منبع وهدف ناميده مي‌شوند.
2- نگاشت
1_(( )):R_0?R
x?1_x
که نگاشت شيء ناميده مي‌شود.
3- نگاشت معکوس
i:R?R
a?a^(-1)
4- نگاشت ترکيب
R_? ×_( ? ) R?R
(b,a)?boa
جايي‌که
R_? ×_( ? ) R={(b,a)??(b)=?(a)}
همچنين نگاشت‌ها بايد در شرايط زير صدق کنند:
1- براي هر (b,a) ?R_? ×_( ?) R داريم:
?(boa)=?(a)
و
?(boa)=?(b)
2- براي هر a,b,c?R به‌طوري‌که ?(c)=?(b) و?(b)=?(a) داريم:
co(boa)=(cob)oa
3- براي هر x?R، جايي که 1_x هماني در xاست، داريم:
?(1_x )=?(1_x )=x
4- براي هر a?R داريم:
a o1_(?(a))=a
و
1_(?(a)) oa=a
5-هر عنصر a?R داراي يک وارون a^(-1) است به طوري که
?(a^(-1) )=?(a)
و
?(a^(-1) )=?(a)
نکته 2-2. با توجه به شرط 5 ترکيب‌هايaoa^(-1) وa^(-1) oa با معنا مي‌باشند وداريم:
aoa^(-1)=1_(?(a))
و
a^(-1) oa=1_(?(a))
گزاره 2-3. فرض کنيد R يک گروه‌وار روي ? R?_0باشد وr?R که?(r)=x و ?(r)=y در اين صورت
1- اگر h?R، ?(h)=y و hor=r آن‌گاهh=1_(y ).
2- اگر j?R، ?(j)=x و roj=r آن‌گاهj=1_(x ).
3- اگر h?R، ?(h)=y و hor=1_(x )آن‌گاهh=r^(-1 ).
4- اگر j?R،?(j)=x و roj=1_(y ) آن‌گاهj=r^(-1 ).
برهان قسمت 1-
داريم hor=r. بنابراين (hor)or^(-1)=ror^(-1) . لذا .ho1_(?(r))=1_(?(r))
بنابراين داريم:
h=ho1_(?(h))=ho1_y=ho1_(?(r))=1_(?(r))=1_y
برهان قسمت 2-
roj=r، بنابراين 1_(?(r)) oj=1_(?(r)). در نتيجه
j=1_(?(j)) oj=1_(?(r)) oj=1_(?(r))=1_x
برهان قسمت 3-
h=ho1_(?(h))=ho1_(?(r))=ho(ror^(-1) )=(hor)or^(-1)=1_x or^(-1)=
1_(?(r)) or^(-1) =1_(?(r^(-1))) or^(-1)=r^(-1)
برهان قسمت 4-
j=1_(?(j)) oj=1_(?(r)) 0j=r^(-1) oroj=r^(-1) o1_y=r^(-1) o1_(?(r))=r^(-1)
اين قسمت از گزاره نشان مي‌دهد معکوس يکتاست.?

تعريف 2-4. اگر R يک گروه‌وار باشد، براي x,y?R_(0 )مجموعه‌ي همه‌ي ريخت‌هاي a?R
را که ?(a)=xو ?(a)=y با R(x,y)نشان مي‌دهيم.
مثال 2-5. ثابت مي‌کنيم هر گروه خود يک گروه‌وار است.
فرض کنيم R يک گروه باشد. با در نظر گرفتن عضو هماني گروه به عنوان مجموعه اشياء گروه‌وار و در نظر گرفتن خود R به عنوان ريخت‌هاي گروه‌وار، نگاشت‌ها را به صورت زير تعريف مي‌کنيم:
نگاشت منبع و هدف
?,?:R?{e}
a?e
نگاشت شيء
1_(( )):{e}?R
e?e
نگاشت معکوس
i:R?R
a?a^(-1)
جايي‌که ? a?^(-1) وارون عنصرa در گروه Rمي‌باشد.
نگاشت ترکيب
O:R_( ?) ×_( ?) R?R
(a,b)?aob
نگاشت ترکيب را همان عمل گروه رويa و bمي‌گيريم.
نشان مي‌دهيم که شرايط گروه‌وار را دارد:
1- ?(boa)=e=?(a) , ?(boa)=e=?(a)
2- براي هرa,b,c?R،چون عمل گروه داراي خاصيت شرکت‌پذيري است، بنابراين داريم:
co(boa)=(cob)oa
3- ?(1_e )=e , ?(1_e )=e

4- ao1_(?(a))=ao1_e=aoe=a , 1_(?(a)) oa=1_e oa=eoa=a
5- ?(a^(-1) )=e=?(a) , ?(a^(-1) )=e=?(a)
و
aoa^(-1)=e=1_e=1_(?(a)) , a^(-1) oa=e=1_e=1_(?(a))
تعريف 2-6. براي x?R_0،?St?_R x يا R_x مجموعه‌ي همه‌ي ريخت‌هايي است که باx شروع مي‌شود و ? CoSt?_R xيا R^x مجموعه‌ي همه‌ي ريخت‌هايي است که با xبه پايان مي‌رسند. يعني



قیمت: تومان


پاسخ دهید