وزارت علوم،تحقيقات و فناوري
دانشگاه علوم و فنون مازندران
پايان نامه
کارشناسي ارشد
رشته: مهندسي صنايع صنايع
عنوان/موضوع:
طراحي و بکارگيري کنترل کيفيت چند متغيره در يک سيستم توليدي
استاد راهنما:
جناب آقاي دکتر ايرج مهدوي
استاد مشاور:
جناب آقاي دکتر علي تاجدين
دانشجو:
مزدک دال کوهي
زمستان 92
تقديم به
مادرم
و روح پدرم

و تمام کساني که مادي و معنوي پشتيبان من در پيشرفتم بوده اند
تشکر و قدرداني
پروردگارا براي پيشرفتم تو را سپاس گذارم،از اينکه همواره برايم بهترين را خواستي تو را شکر گويم.
در اينجا لازم مي دانم از تمام عزيزان،اعم از اساتيد وکارشناسان و نيز دوستان خوبم که من را در تهيه اين پروژه راهنمايي و ارشاد کرده وبه هر نحوي پشتيبان من بودند تشکر کنم و توفيق روزافزونشان را از خدا خواستارم.
تشکر ويژه من از جناب دکتر مهدوي و دکتر تاجدين است که جز با راهنمايي ايشان اين پروژه به سرانجام نمي رسيد. همچنين دکتر حميد اسماعيلي دوست و مشاورم که من را به حوزه کيفيت آشنا و علاقه مند کرد. قدرداني من را پذيرا باشيد.
بدون حمايت همه جانبه خانواده اين امکان برايم محيا نبود که تحصيلاتم را تا اينجا ادامه داده و پله هاي ترقي را طي کنم.اميدوارم همواره سايه ايشان بالاي سرم باشد.خدايا توانايي شاد کردنشان را برايم فراهم کن.
چکيده
امروزه توليد صنعتي نيازمند نمودارهاي کنترل کيفيت چند متغيره براي پايش توام چند مولفه کيفي است ؛ علاقه به چنين نمودارهايي حتي در زمينه هاي غير توليدي نيز افزايش يافته است. در اين پايان نامه سعي شده است رويه هاي کلي نمودارهاي چند متغيره بررسي شود ، سپس با آناليز مولفه هاي اصلي بهترين ترکيب خطي از مولفه هاي کيفي بدست آيد که تغييرات را پوشش بيشتري مي دهند ؛ همچنين متغير يا متغيرهاي کيفي که باعث حالت خارج از کنترل مي شوند را مشخص مي کند.
براي مقايسه روش چند متغيره با روش تک متغيره ابتدا با مثالي شبيه سازي شده روش چند متغيره براي توليد نمودار T^2 را براي تغيير پذيري دروني و کلي نمونه ها شرح مي دهيم ، سپس با يک مثال توليدي از شرکت شير پگاه فارس روش هاي فوق را براي شش متغير در عمل مشاهده مي کنيم. در نهايت با آناليز مولفه هاي اصلي (PCA) بهترين ترکيب خطي را که مي تواند با تعداد متغير کمتر ، بيشتر تغييرات اين متغير هارا نمايش دهند را به دست مي آوريم.
واژگان کليدي : کنترل کيفيت چد متغيره ،نمودار T^2 ، تغيير پذيري دروني ، آناليز مولفه هاي اصلي
فهرست رئوس مطالب
صفحه عنوان…………………………………………………………………………………………….. ب
صفحه تقديم……………………………………………………………………………………………. ج
صفحه تشکر…………………………………………………………………………………………….. د
چکيده ……………………………………………………………………………………………………ه
فصل اول : مقدمه و کليات تحقيق
1-1 مقدمه………………………………………………………………………………………………. 2
1-2 هدف تحقيق ………………………………………………………………………………………..3
1-3 ضرورت و اهميت تحقيق ……………………………………………………………………………3
1-4 سوال تحقيق………………………………………………………………………………………… 4
1-5 مفروضات………………………………………………………………………………………….. 4
1-6 کلمات کليدي و تعاريف مربوط…………………………………………………………………… 4
1-7 قلمرو موضوعي،مکاني و زماني ……………………………………………………………………..5
1-7-1 قلمرو موضوعي ………………………………………………………………………………….5
1-7-2 قلمرو زماني ……………………………………………………………………………………5
1-7-3 قلمرو مکاني …………………………………………………………………………………..5
1-8 معرفي شرکت پگاه فارس ………………………………………………………………………………………………….6
فصل دوم : ادبيات و پيشينه تحقيق
2-1 تاريخچه کنترل کيفيت آماري………………………………………………………………………………………….. 8
2-1-2 تعريف کنترل کيفيت…………………………………………………………………………. 8
2-3 اصول آماري نمودار کنترل………………………………………………………………………. 10
2-4 مرور ادبياتي و کارهاي مرتبط…………………………………………………………………… 13
فصل سوم : روش تحقيق
3-1 توزيع نرمال چند متغيره در کيفيت……………………………………………………………… 16
3-2 کنترل کيفيت با اهداف تعيين شده خارجي…………………………………………………….. 30
3-3 کنترل کيفيت با اهداف چند متغيره از درون فرآيند – مطالعات کارايي فرآيند چند متغير……….. 43
3-4 کنترل کيفيت با اهداف از نمونه مرجع……………………………………………………………. 55
3-5 ارزيابي داده ها با نمودارهاي کنترل چند متغيره………………………………………………… 62
3-6 شناسايي مشخصات خارج از کنترل………………………………………………………………. 66
3-7 کاربردهاي اجزاء اصلي………………………………………………………………………… 67
فصل چهارم : تجزيه و تحليل داده ها
4-1 مقدمه…………………………………………………………………………………………….. 73
4-2 اندازه گيري متغير هاي کنترل…………………………………………………………………….. 73
4-3 محاسبات نمودار تک متغيره……………………………………………………………………… 84
4-4 تشکيل ماتريس همبستگي ………………………………………………………………………88
4-5 محاسبه و رسم نمودار T^2 ………………………………………………………………………88
4-6 بررسي اينکه آيا با متغيرهاي کمتر نيز جوابگو کيفيت مورد نظر مي باشد…………………………. 90
فصل پنجم : نتايج و پيشنهادات
5-1 مقدمه و خلاصه تحقيق…………………………………………………………………………. 92
5-2 نتيجه گيري…………………………………………………………………………………….. 92
5-3 محدوديت هاي تحقيق…………………………………………………………………………. 93
5-4 پيشنهادات براي تحقيقات آتي……………………………………………………………………. 94
منابع و ماخذ
منابع ……………………………………………………………………………………………………95
فهرست جداول
جدول 2-1……………………………………………………………………………………………25
جدول 2-2 …………………………………………………………………………………………. 26
جدول 2-3………………………………………………………………………………………….. 29
جدول 2-4 …………………………………………………………………………………………….30
جدول 2-5……………………………………………………………………………………………. 31
جدول 2-6……………………………………………………………………………………………. 32
جدول 2-7 …………………………………………………………………………………………….32
جدول 2-8 …………………………………………………………………………………………….34
جدول 2-9……………………………………………………………………………………………. 38
جدول 2- 10 ………………………………………………………………………………………..39
جدول 2-……………………………………………………………………………………………… 40
جدول 2-12………………………………………………………………………………………… 49
جدول 2-13 …………………………………………………………………………………………51
جدول 2-14………………………………………………………………………………………… 55
جدول 2-15………………………………………………………………………………………… 56
جدول 2-1…………………………………………………………………………………………… 66
جدول 4-1……………………………………………………………………………………………. 72
جدول 4-2 …………………………………………………………………………………………….83
جدول 4-3 …………………………………………………………………………………………..87
جدول 4-4………………………………………………………………………………………….. 87
جدول 4-5 …………………………………………………………………………………………..88
جدول 4-6………………………………………………………………………………………….. 89
فهرست تصاوير و نمودارها
نمودار 2-1………………………………………………………………………………………….. 15
نمودار 2-2 …………………………………………………………………………………………..16
نمودار 2-3 …………………………………………………………………………………………..56
نمودار 2-4 …………………………………………………………………………………………….62
نمودار 2-5……………………………………………………………………………………………. 67
نمودار 4-1 …………………………………………………………………………………………….84
نمودار 4-2……………………………………………………………………………………………. 88
فصل اول
مقدمه و کليات تحقيق
1-1مقدمه
موثر ترين راه براي کنترل کيفي محصولات ، روش هاي آماري مي باشد که تصويري از وضعيت کل توليد را ارايه مي دهد. در واقع تغيير پذيري به عنوان يک پديده دائمي و جزء لاينفک محصولات توليدي ، دليل اصلي استفاده از روش هاي آماري براي بررسي و کنترل اين تغييرات است . در واحد هاي صنعتي ، تا زماني که از مواد ، ماشين آلات ، افراد و روش ها براي توليد استفاده شود مشکل تغيير کيفيت نيز وجود خواهد داشت و تا زماني که اين مشکل وجود داشته باشد ، روش هاي آماري کنترل کيفيت نيز لازم خواهند بود .
گرچه روش هاي چند متغيره براي داده هاي چند متغيره مناسبتر هستند ولي در عمل در صنايع ما معمول نيستند. از آنجا که کنترل کيفيت چند متغيره1 از محاسبات پيچيده تري برخوردار است اکثر کارشناسان کيفيت از روش هاي ساده تر و در عين حال با کارايي کمتر استفاده مي کنند، اين در حاليست که با رشد روزافزون استفاده از کامپيوتر در صنايع بسياري از اين محاسبات به راحتي امکان پذير است.
از بزرگترين مزاياي حالت چند متغيره نسبت به تک متغيره وارد کردن ماتريس همبستگي (واريانس-کوواريانس) در محاسبات است که از اين طريق تاثير متغيرها بر هم بررسي شده و بدين ترتيب ديد جامعتر و بهتري به داده ها خواهيم داشت.
مهمترين کار در اين زمينه توسط Hotelling در سال 1947 انجام شده است. وي روشT^2 را توسعه داد و ازآن در نمودارهاي کنترل استفاده نمود.در سال 1960 با پيشرفت تکنولوژي کامپيوتر ، کنترل آماري فرآيند چند متغيره بسيار مورد توجه قرار گرفت و بحث کنترل همزمان چندين مشخصه کيفي در سطح وسيعي مطرح شد.نمودار T^2 در کشف يک وضعيت خارج از کنترل بسيار خوب عمل مي کند.نقطه ضعف عمده اين نمودار آن است که علي رغم اينکه مي تواند به درستي يک وضعيت خارج از کنترل را نشان دهد،در تعيين مشخصه هاي کيفي منحرف شده کمبود دارد.
1-2 هدف تحقيق
هدف اصلي از اين تحقيق معرفي عملي کنترل کيفيت چند متغيره وکمک به گسترش روش هاي چندمتغيره در کنار روش هاي تک متغيره است تا با اميد به پروردگار صنايع کشور با سرعت بيش از پيش ترقي کرده و به نقطه اي برسد که لايق جوانان اين خاک و بوم باشد.
1-3 ضرورت تحقيق
همانطور که در چند دهه اخير روش هاي توليد از کارهاي جز که کارگران به سادگي انجام مي دادند به سمت کارهاي تخصصي رفته است کنترل کيفيت از روشي فقط براي کاهش محصولات معيوب به روشي براي بهبود فرآيند براي افزايش کيفيت در زمينه توليد و حتي خدمات و در نهايت افزايش رضايت مشتريان تغيير موضوع داده است ، اين تغيير رويه خصوصا در دو دهه اخير به وضوح قابل مشاهده است، يکي از بارزترين اين تغييرات،تغيير ديد نسبت به متغيرهاي معرف کيفيت است که سابقا به صورت مجزا پايش مي شدند و همبستگي بين آن ها ناديده گرفته مي شد ولي اينک مجموع آنها با هم پايش شده و نتايج به دست آمده واقعي تر و مستندتر هستند.
1-4 سوال تحقيق
سوالاتي که پيش مي آيند به قرار زير است:
1- آيا مي توان روش هاي چند متغيره را جايگزين حالت تک متغيره کرد؟
2- آيا اين دو روش مستقل از هم کارايي يکساني دارند؟
3- چگونه مي توان با کاهش تعداد متغيرها تقريب خوبي از کيفيت را برآورد کرد؟
1-5 مفروضات مساله
1- داده ها توزيع نرمال دارند.
2- داده ها به ترتيب زماني جمع آوري و ارزيابي مي شوند.
3- هر بار نمونه گيري مستقل از ساير نمونه هاست.
1-6 کلمات کليدي و تعاريف مربوط
نمودار T^2 هتلينگ2
اين نمودار نظير نمودار شوهارت تک متغيره است و بسياري از محقان آن را نمودار شوهارت چندمتغيره مي نامند (گرچه شوهارت هيچ نقشي در تعريف و گسترش آن نداشته است) و روند داده هاي چند متغيره را در طول زمان را نشان مي دهد
اجزاء اصلي3
در اين روش به هريک از متغيرها مقداري تخصيص داده مي شود که در نهايت سهم هر متغير در مقدار T^2 را تعيين مي کند و اين امکان را فراهم مي کند که بتوان با متغير هاي کمتر عوامل تغيير پذير را شرح داد و زماني کاربرد بيشتري دارد که تعداد متغير ها زياد باشد (مثلا بالاي 5 متغير).
تغيير پذيري دروني و کلي نمونه ها و فاصله از هدف
فاصله از مقدار هدف را با T_M^2 و تغيير پذيري درون نمونه را باT_D^2 نشان مي دهند که حاصل جمع اين دو تغيير پذيري کل يا T_O^2 را نتيجه مي دهند. کارکرد آنها متناظر با نمودار(X ?,R) يا (X ?,S) است.
1-7 قلمرو زماني،مکاني و موضوعي
1-7-1 قلمرو موضوعي
اين تحقيق بر موضوع آشنايي عملي کارشناسان کيفيت با مباحث پايه کنترل کيفيت چندمتغيره تمرکز دارد، ابتدا به بيان اين مباحث مي پردازيم،سپس با مثالي عملي مراحل اجراي آن را نشان مي دهيم و در آخر به مقايسه اين رويه ها با رويه هاي تک متغيره مي پردازيم.
1-7-2 قلمرو زماني
بازه زماني اين تحقيق تابستان و پاييز 92 است، در اين مدت سعي شد همزمان با مطالعات روش شناسي با داده هاي توليدي يک کارخانه لبنيات کارايي عملي اين روش ها بررسي و با نشان دادن کارايي آن ها زمينه فعاليت در اين رشته جديد از کنترل کيفيت فراهم گردد.
1-7-3 قلمرو مکاني
کليه داده ها از کارخانه پگاه فارس تهيه شده است. لازم به ذکر است به دليل اينکه پارامتر هاي مورد مطالعه در مورد فرمول توليدي يکي از محصولات اين شرکت است،با احترام به درخواست مدير کنترل کيفيت اين کارخانه به جاي اسم اصلي پارامترها آن ها را با شماره بيان مي کنيم تا رسم رازداري شرکت ها در زمينه فرمول هاي اختصاصي را به جاآورده باشيم.
1-8 معرفي شرکت پگاه فارس
شرکت شير پاستوريزه پگاه فارس يكي از شركتهاي بزرگ تحت پوشش شركت صنايع شير ايران مي باشد كه با بيش از نيم قرن تجربه در توليد و فرآوري شير و ساير فرآورده هاي شيري ، با استفاده از دستگاههاي مدرن و پيشرفته دنيا يکي از بزرگترين صنايع لبني جنوب کشور محسوب مي گردد و در حال حاضر با ظرفيتي حدود 450 تن توليدات خود را با نام تجاري پگاه فارس در بسته بندي هاي کاملاً بهداشتي به بازار عرضه مي نمايد.
اين شركت در سال 1342با نام “كارخانه شير پاستوريزه شيراز” با ظرفيت 15 تن تاسيس و به منظور تأمين پروتئين حيواني مورد نياز شهروندان و استفاده كلان از شير خشك وارداتي و توليد شيربازساخته جهت مصرف دانش آموزان در سال 1346 به بهره‌برداري رسيد. كارخانه در سال1359 با كارخانه شير زرقان كه در سال 1353 تاسيس شده بود، ادغام و تحت عنوان”كارخانه شير منطقه اي فارس” شروع به فعاليت كرد. مساحت اين كارخانه 14 هكتار ميباشد و در 32 كيلومتري شمال شيراز واقع شده است و با ظرفيت اوليه 150 تن، يكي ازكارخانه هاي بزرگ تحت پوشش شركت صنايع شير ايران بوده كه به مرور با پيشرفت تكنولوژي و افزايش ماشين آلات، در حال حاضر با ظرفيت اسمي 450 تن توليد محصولات خود را در بسته بندي هاي جديد و بهداشتي با نام تجاري “شركت شير پاستوريزه پگاه فارس” به بازار عرضه مي نمايد.
اين شرکت اکنون هشت رده از محصولات لبني را توليد مي کند که عبارتند از : ماست، شير ، پنير ، خامه ، کره ، کره ، کشک ، دوغ و فر آورده هاي پودري ؛ اين محصولات در تنوع زياد با جديدترين ماشين آلات و پرسنل کارآمد با حفظ ارزش هايي نظير حفظ سلامت جامعه ، مسئوليت پذيري و مشتري مداري و بهبود مستمر و نوآوري محصولات توليد و به مشتريان ارائه مي گردند.
فصل دوم
ادبيات و پيشينه تحقيق
2-1تاريخچه کنترل کيفيت آماري
کنترل کيفيت قدمتي برابر با توليد دارد .هر آنچه انسان حتي قرن ها قبل از ميلاد توليد کرده است داراي دقت و ظرافتي است که نشان از توجه سازندگان آن به کيفيت دارد . نگاهي بر دست ساخته هاي انسان باستان در موزه ها و يا عجايب هفت گانه جهان نظير اهرام ثلاثه مصر ، مجسمه ابوالهول و ديوار چين تاييد خوبي بر اين مدعاست .
با شروع انقلاب صنعتي در اروپا در اواسط قرن هيجدهم ميلادي و استفاده از ماشين آلات و ابزار دقيق در توليد ، روش هاي توليد نيز مدرن تر و پيچيده تر شدند . اين تغييرات حجم توليد محصولات را بالا برد و روش هاي کنترل دقيق بودن و ظرافت نيز در آنها تغيير يافت . مقايسه روش هاي کنترل کيفيت توليدات در سال هاي اوليه انقلاب صنعتي با آنچه که امروزه به چشم مي خورد ، نشان مي دهد که تغييرات در اين بخش فوق العاده بوده است . اين تغييرات که خواست عمده صاحبان صنايع و مصرف کنندگان بود ، در سال 1920 ميلادي به ابداع کنترل کيفيت آماري منجر شد .
پس از اينکه نمودارهاي کنترل شوهارت در صنايع مورد استفاده گسترده قرار گرفت،نمودارهاي جمع تجمعي (CUSUM) وميانگين متحرک موزون نمايي گام بعدي در پيشرفت کنترل کيفيت بودند.
در گام بعدي با پايش توام چند متغير و تصميم بر رسم توام آن ها نمودارهاي چن متغيره مطرح شدند.مهمترين کار در اين زمينه توسط Hotelling در سال 1947 انجام شده است. وي روشT^2 را توسعه داد و ازآن در نمودارهاي کنترل استفاده نمود.در سال 1960 با پيشرفت تکنولوژي کامپيوتر ، کنترل آماري فرآيند چند متغيره بسيار مورد توجه قرار گرفت و بحث کنترل همزمان چندين مشخصه کيفي در سطح وسيعي مطرح شد.نمودار T^2 در کشف يک وضعيت خارج از کنترل بسيار خوب عمل مي کند.نقطه ضعف عمده اين نمودار آن است که علي رغم اينکه مي تواند به درستي يک وضعيت خارج از کنترل را نشان دهد،در تعيين مشخصه هاي کيفي منحرف شده کمبود دارد.
2-2 تعريف کنترل کيفيت :
کنترل کيفيت يک کلمه مرکب از کنترل و کيفيت است که هر کدام تعاريف خاص خود را دارند .
کيفيت : وجود آن در يک محصول ، شايسته بودن آن را به مصرف گننده نشان مي دهد . به عبارتي وجود کيفيت به معناي آن است که کالا ، انتظارات مصرف کننده را فراهم مي آورد .
کنترل : به کار اعمال قوانين در پروسه توليد که توليدکننده را در جهت دسترسي به نتايج مورد نظر مطمئن مي سازد ، کنترل گفته مي شود .
کنترل کيفيت در مواقعي فقط به بازرسي نهايي و جدا کردن محصولات فاقد کيفيت محدود مي شود اما در مواردي فراتر از آن عمل مي کند . به عنوان مثال به برنامه ريزي کيفيت ، کنترل مواد ورودي ، کنترل کيفيت در حين توليد ، کنترل مواد خروجي ، تجزيه و تحليل و اقدام مقتضي در رابطه با مشکلات کيفي توليد و . . . مي پردازد . در اين حالت گزارشات مربوط به مسايل کيفي کمک بزرگي به حساب مي آيند . در کل مي توان گفت کنترل کيفيت سيستمي است که با اتکا به آن مي توان کيفيت يک محصول يا يک فرايند توليد را به حد مناسبي رساند و با برنامه ريزي دقيق ، استفاده از ابزراهاي کيفي ، بازرسي هاي مداوم و . . . آن را حفظ کرد و يا نسبت به بهبود مداوم آن گام برداشت .
کنترل کيفيت براي اولين بار در سال 1920 ميلادي توسط دانشمندي به نام والتر شوهارت در آزمايشگاه شرکت تلفن بل آمريکا بنيان گذاري شد. وي در 16ام ماه مي سال 1920، اولين تصاوير نمودار هاي کنترلي را رسم کرد و در مطالعات بعدي از آن بهره گرفت . والتر شوهارت بعد از 11 سال کار مداوم در سال 1931 ميلادي نتايج تحقيقات خود را در کتابي با نام ” کنترل اقتصادي کيفيت محصول ساخته شده” منتشر کرد]1[.
موثر ترين راه براي کنترل کيفي محصولات ، روش هاي آماري مي باشد که تصويري از وضعيت کل توليد را ارايه مي دهد. در واقع تغيير پذيري به عنوان يک پديده دائمي و جزء لاينفک محصولات توليدي ، دليل اصلي استفاده از روش هاي آماري براي بررسي و کنترل اين تغييرات است . در واحد هاي صنعتي ، تا زماني که از مواد ، ماشين آلات ، افراد و روش ها براي توليد استفاده شود مشکل تغيير کيفيت نيز وجود خواهد داشت و تا زماني که اين مشکل وجود داشته باشد ، روش هاي آماري کنترل کيفيت نيز لازم خواهند بود .
2-3 اصول آماري نمودار کنترل :
اساسا نمودار کنترل يک آزمون فرضيه است که به منظورارزيابي شرايط تحت کنترل بودن فرآيند از لحاظ آماري استفاده مي گردد. خطاي نوع اول و دوم در اينجا نيز وجود دارد.احتمال خطاي نوعI بيانگر حالت خارج از کنترل است وقتي فرآيند تحت کنترل باشد و احتمال خطاي نوع دو بيانگر حالت تحت کنترل است وقتي فرآيند واقعا خارج از کنترل است. مهمترين دليل استفاده از يک نمودار کنترل،بهبود وضعيت موجود در يک فرايند است.
اگر فرايند تحت کنترل باشد تقريبا کليه نقاط بين حدود کنترل رسم مي گردند و روندشان روي نمودار تصادفي است. به طور کلي تا زماني که نقاط بين حدود هستند فرايند تحت کنترل محسوب مي گردد. فرم کلي حدود به صورت زير است :
UCL= µ_w+k?_w
CL= µ_w
LCL= µ_w-k?_w
با افزايش k يعني دور کردن حدود کنترل از خط مرکز احتمال خطاي نوع اول کاهش و خطاي نوع دوم افزايش مي يابد،نزديک کردن حدود کنترل تاثير عکس دارد.در آمريکا از حدود 3 انحراف معيار و حدود هشدار 2 انحراف معيار استفاده مي گردد و در اروپا اين مقادير به ازاي ? محاسبه مي شوند. حدود هشدار براي حساسيت بيشتر نمودار به کار مي روند]1[.
عامل مهم ديگر در تهيه نمودارهاي کنترل بحث زيرگروه هاي منطقي است ، به طور کلي زير گروه ها بايد طوري باشند که در صورت وجود خطاهاي با دليل اختلاف بين زيرگروه ها حداکثر و اختلاف درون زيرگروه ها حداقل گردد. علاوه بر اين اندازه نمونه و فراواني نموه گيري نيز اهميت دارد. به طور کلي تهيه نمونه هاي بزرگ سرعت پي بردن به تغييرات را افزاش مي دهد ولي استفاده از نمونه هاي کوچک در فواصل زماني کوتاه کاربرد بيشتري دارد.
در نمودارهاي کنترل اگر مشخصه کيفي را اندازه گيري و به صورت عددي در مقياس پيوسته ارائه کنيم آن را متغير گوييم و به راحتي مي توان آن را بر اساس معيار تمايل مرکزي و تغييرپذيري توصيف کرد. چنين نمودارهايي را کنترل براي متغيرها مي نامند و شامل انواع زير است :
نمودارهاي کنترل X ? و R :
اگر مقادير µ و ? معلوم باشند براي محاسبه حدود کنترل داريم:
UCL= µ+Z_(??2) ?/?n
CL=µ
LCL= µ-Z_(??2) ?/?n
ولي از آنجا که در عمل مقادير µ و ? معلوم نيستند m نمونه n تايي ميگيريم و پارامترها را تخمين مي زنيم (معمولا 20?m?25و n=4,5,6)
x ?=(??x_i )/n ?x ?=(??x ?_j )/m for i=1,…,n j=1,…,m
R=x_max-x_min
R ?=(??R_i )/m for i=1,…,m
?(?? ) ? ?=R ?/d_2
و حدود کنترل عبارتند از:
{?(UCL= x ?+3/(d_2 ?n) R ?@CL= x ? @LCL= x ?-3/(d_2 ?n) R ? ) ?(??(3/(d_2 ?n)=A_2 ) )? {?(UCL= x ?+A_2 R ?@CL= x ? @LCL= x ?-A_2 R ? )?
و براي حدود نمودار R داريم :
{?(UCL=R ?+3? ?_R=R ?+3d_3 R ?/d_2 @CL=R ?@LCL=R ?-3? ?_R=R ?-3d_3 R ?/d_2 ) ?(???(D_3=1-d_3 R ?/d_2 @D_4=?1+d?_3 R ?/d_2 ) )? {?(UCL=D_4 R ?@CL=R ?@LCL=D_3 R ? )?
نمودارهاي کنترل x ? و S :
اگر واريانس نامعلوم باشد آن را مي توان به وسيله برآوردگر نااريب واريانس نمونه تخمين زد :
S^2=(???(x_i-x ?)?^2 )/(n-1)
اگر مقدار استانداردي براي ? وجود داشته باشد داريم :
{?(UCL=C_4 ?+3??(1-C_4 )@CL=C_4 ?@LCL=C_4 ?-3??(1-C_4 ))? ?(???(B_6=C_4+3?(1-C_4 )@B_5=C_4-3?(1-C_4 )) ) {?(UCL=B_6 ?@CL=C_4 ?@LCL=B_5 ?)?
و اگر مقدار استانداردي براي ? نداشته باشيم آن را تخمين مي زنيم :
S ?=(??S_i )/m for i=1,…,m
{?(UCL=S ?+3 S ?/C_4 ?(1-C_4^2 )@CL=S ?@LCL=S ?-3 S ?/C_4 ?(1-C_4^2 ))? ?(???(B_4=1+3/C_4 ?(1-C_4^2 )@B_3=1-3/C_4 ?(1-C_4^2 )) ) {?(UCL=B_4 S ?@CL=S ?@LCL=B_3 S ? )?
و براي حدود x ? داريم :
{?(UCL=x ?+A_3 S ?@CL=x ?@LCL=x ?-A_3 S ? )?
لازم به ذکر است استفاده از نمودار R نسبت به S ? به دليل سادگي بيشتر رايج تر است. اگر اندازه نمونه کوچک باشد نمودار R نسبت به پي بردن به وجود تغييرات کوچک از خود حساسيت چنداني نشان نمي دهد،بنابراين در مواقعي که بايد تغييرات فرايند کنترل گردد معمولا از نمونه هاي بزرگ و نمودار S استفاده مي گردد.
2-4 مرور ادبياتي و کارهاي مرتبط
تحقيقات داخلي را برخي افراد نظير پروفسور نورالسنا و دکتر حسينعلي نيرومند انجام داده اند که به صورت مطالعه موردي در تاليفات يا مقالات خود آورده اند ولي از نظر تعداد در مقايسه با حالت تک متغيره منابع فارسي بسيار اندکي وجود دارد و مطالب و منابع کاربردي خارجي بيشتر در اين تحقيق استفاده شده است.
در ذيل به برخي از اين منابع مورد استفاده اشاره شده است:
پروفسور نورالسنا در کتاب خود به صورت پايه به معرفي کنترل کيفيت پرداخته اند و تمامي مسايل حالت تک متغيره را تحليل و بررسي کرده اند. ]1[
دکتر حسينعلي نيرومند در کتاب خود با بياني کاملا آماري مبحث کنترل کيفيت آماري را توضيح مي دهند.]2[
آرتور يه در اين مقاله پيرامون استفاده از نمودارهاي چند متغيره براي نمايش ماتريس کوواريانس و تئوري هاي اين موضوع بحث مي کند. [3]
فريسن در مقاله اي روش هاي کلي توليد نمودارهاي چند متغيره را شرح داده و روشي براي بازبيني آنها ارائه مي دهد. [4]
کولو در مقاله خود به چولگي() و تيزي () توزيع چند متغيره مي پردازد [5]
در منابع ]6[،]7[،]8[،]9[،]10[،]11[،]12[ در مورد روش جمع تجمعي صحبت شده است.
در منابع ]13[،]14[،]15[،]16[،]17[،]19[ پيرامون نمودارهاي کنترل ميانگين متحرک موزون نمايي بحث شده است.
هتلينگ روش T^2 را معرفي کرد و گسترش داد.]18[
ويردا در کتاب خود به بيان آماره هايي از جنس T^2 پرداخته است.]20[
سبر جزئيات تئوري تخمين براي نمونه هاي تصادفي را با قضاياي بيان کرده است. ]21[
جکسون به بيان کلياتي در مورد کنترل کيفيت چند متغيره پرداخت.]22[،]23[
هاکينز کنترل کيفيت چند متغيره را بر مبناي تنظيمات رگرسيوني بررسي کرده است.]24[
ميسون در مورد تجزيه آماره T^2 تحقيق کرده است.]25[
مونتگومري در کتابي جنبه هاي عملي کنترل کيفيت چند متغيره را بيان کرده است.]26[
در منابع ]27[،]28[،]29[،]30[ پيرامون کنترل چند متغيره با مشاهدات منفرد بحث شده است.
فصل سوم
روش تحقيق
3-1 توزيع نرمال چند متغيره در کنترل کيفيت
در بيشتر بخش با فرض نرمال بودن داده‌هاي چند متغيره روش‌هايي را ارائه مي‌د‌هيم که ما را قادر مي‌سازد پارامترهاي جمعيت را تخمين بزنيم، با استفاده از نمونه تصادفي ساده آزمون‌هاي فرضيه در مورد پارامترهاي جمعيت چند متغيره بسازيم. آناليز داده‌هاي چند متغيره در مقابل آناليز جداگانه‌ي هر متغير قرار مي‌گيرد يک جنبه‌ي اين تقابل ناشي از مشاهده‌ي همزمان چند عبارت احتمالي است، نظير P آزمون فرضيه اين موضوع مشکل مقايسات چند گانه را ايجاد مي‌کند که نيازمند تعديلات سطوح معني4 براي دستيابي يک سطح معني کل است. جزء دوم اين تقابل توضيح ساختار همبستگي دروني اين p بعد (p متغير) است که روي سطح مفهوم کلي تأثير مي‌گذارد.
با توصيف توزيع نرمال چند متغيره شروع کرده سپس توزيع تست هاي آماري مختلف را پوشش مي‌دهيم. بعد مختصراً به رويه‌هاي نرمال سازي داده‌هاي غير نرمال اشاره مي‌کنيم اين بخش يک خلاصه و يک تئوري پايه‌اي براي بقيه‌ي بخش ها است .
توزيع نرمال چند متغيره:
يک بردار p بعد از متغيرهاي تصادفي x=(x^((1) )…,x^((p) ) ) به طوري که L=1,…,p -?<x^((l))<? را يک توزيع نرمال چند متغيره5 گويند اگر تابع چگالي آن به صورت زير باشد.
f(x)=f(x^((1) ),…,x^((p) ))=?(2?)?^(-p/2) |?|^(-1/2) exp{-1/2 (x-?)^’ ?^(-1) (x-?)}
که در آن ?=(?^((1) ),…,?^((p) ) ) بردار ارزش‌هاي انتظاري6 است و داريم.
?^((L) )=E(x^((L) ) ) L=1,..,P
و l,u=1,…,p , ???=[?_lu ] ? ماتريس کوواريانس 7(x^((1))…,x^((p))) است که?_LV=cov(x^((l))…,x^((u))) ?_LL=?_L^2, مي‌توانيم تابع چگالي X را با نماد زير نشان دهيم:
x?N_p (? ,?)
که N_p (., .) در آن نشاندهنده‌ي توزيع نرمال چند متغيره با پارامترهاي مکاني و پراکندگي است.
وقتي p=1 باشد بردار تک بعدي’ x=(x^((1) ) ) توزيع نرمال با ميانگين ?^((1) ) و واريانس ?_1^2 دارد يعني
f(x)=1/(?_1 ?2?) exp^(-(x^((1) )-?^((1) ) )^2/2?_1^2 ) -?<x^((1) )<?
يا
x?N_p (µ^((1)) ,?_1^2 )
وتي p=2 باشد x=(x^((1) ),x^((2) )) يک توزيع نرمال دو متغيره با دو داده ميانگين ?=(?^((1) ),?^((2) )) دو بعدي و ماتريس کووارياسن ???=[?(?_1^2&?_12@?_21&?_2^2 )] ?است که ?_1^2 و ?_2^2 به ترتيب واريانسx^((2) ) , x^((1) ) ، ?_12=?_21 کووارياسن بين آنها هستند.
اگر ?=?_12/(?_1 ?_2 ) باشد به ? همبستگي بين x^((2) ) , x^((1) ) گويند.
اگر x^((2) ) , x^((1) ) مستقل باشند (?=0) توزيع دو متغير‌ه‌‌ي بينشان حاصل ضرب دو توزيع نرمال تک متغيره است يعني :
f_(?=0) (x^((1) ),x^((2) ) )=1/(2??_1 ?_2 ) exp(-(x^((1) )-?^((1) ) )^2/(?2??_1^2 )-(x^((2) )-?^((2) ) )^2/(?2??_2^2 ))
در حالت کلي (-1?p?1) توزيع نرمال دو متغير به صورت زير است:
f_? (x^((1) ),x^((2) ) ) = 1/(2??_1 ?_2 ?(1-p^2 )) exp{-1/(2(1-?)^2 )(((x^((1) )-?^((1) ))/?_1 )^2+((x^((2) )-?^((2) ))/?_2 )^2-2? (x^((1) )-?^((1) ) )(x^((2) )-?^((2) ) )/(?_1 ?_2 ))}
مي‌توان مجموعه‌اي از مقادير که شامل نسبت خاصي از توزيع چند متغير باشد را تعريف کرد طوري که مجموعه مقادير يک ناحيه فرآيند طبيعي8 را تشکيل مي‌هد.
نمودار 2-1 توزيع دو متغيره متغيرهاي طول 1و2 ازمطالعه موردي]24[
مقادير دروني ناحيه طبيعي فرآيند با اين اصل مشخص مي‌گردند که فاصله آنها از بردار ميانگين ? از مقادير بحراني9 تخطي نکند، قانون 3 سگيماي کلاسيک در اين متن معادل اين است که آزمايش کنيم مشاهده درون 99.73 درصد (0.9973=p ) مرکزي جمعيت مرجع10 قرار مي‌گيرد يا خير ،در موارد تک متغيره مقادير بحراني فوق‌الذکر حدود طبيعي فرآيند11 مي‌نامند (ASQC)
نمودارهاي 2-1 و 2-2 توزيع نرمال دو متغيره‌اي را نشان مي‌دهند که واريانس‌ها، ميانگين‌ها و ضريب همبستگي12 بر طبق مقادير تجربي محاسبه شده از روي توزيع دو متغير‌ه‌‌ي طول 1و طول 2 در 30 مشاهده‌ي اول مطالعه موردي13بدست آمده‌اند. که در آن ?^((1) )=49.91 و ?^((2) )=60.05 , ?_2=0.037 ,?_2=0.037 ?=0.723 نمودار 2.1 يک نمايش سه بعدي از توزيع فوق است در حالي که نمودار 2.2 خطوط کانتور14براي مقادير مختلف f(length 1,length 2) را نشان مي‌دهد.
وقتي پارامترهاي فرآيند ناشناخته هستند و از روي نمونه‌ تخمين زده مي‌شوند (مثل اکثر موارد معمول)، نمي‌توان ناحيه‌ي طبيعي فرآيند را که شامل نسبت بيان شده‌ي جمعيت باشد را با صراحت تعيين کنيم. چون اينک يک منبع اضافي عدم اطمينان15 داريم. هر تعبيري در مورد نسبت جمعيت در ناحيه‌ي خاص فقط با يک سطح اطمينان16 مشخص ساخته مي‌شود. هر ترکيب از نسبت معين و سطح اطمينان معلوم يک ناحيه را تعريف مي‌کند. ناحيه آماري تلرانس 17 در اينجا به جاي ناحيه‌ي طبيعي18 فرآيند بکار مي‌رود. در حالت تک متغيره حدود طبيعي فرآيند با حدود آماري تلرانس جايگزين مي‌شوند. رويه‌ي نواحي تلرانس آماري در کنترل کيفيت چند متغيره در بخش هشتم تشريح مي‌شوند.
نمودار2-2 :
خطوط کانتور تابع چگالي دو متغيره با پارامترهاي طول 1 و طول 2از مطالعه موردي اول]24[
شکل توزيع چند متغيره به بردار ميانگين ? ماتريس کوواريانس?بستگي دارد. وقتي يکي يا هر دو اين پارامترها نامعلوم باشند (مثل موارد معمول) به صورت تجربي و از داده‌ها تخمين زده مي‌شوند. اگر x_1, …, x_n ،n بردارp بعدي مستقل مشاهدات از N_P (?,?) ،p?n-1 باشد؛ بردار ميانگين مشاهده‌شده‌ي x ? و ماتريس کوواريانس s بصورت زير بدست مي‌آيند:
x ?=?_(i=1)^n??x_i/n?
s=?_(i=1)^n???(x?_i-x ?)(?(x?_i-x ? )^’/n-1?
که به ترتيب تخمين‌هاي نااريت ?,µ هستند.
توجه داشته باشيد تحت توزيع نرمال، بردار x ? يک تخمين حداکثر درستنمايي (MLE) براي ? است در حاليکه MLE مربوط به ? عبارت است از (n-1)/n S
(l,l’) امين عنصر ماتريس S کوواريانس تخميني بين متغيرهاي l,l’ است که l,l’ =1,…,P است يعني:
S_ll’=?_(i=1)^n?(x_i^((l) )-¯x^((l) ) )(x_i^((l^’ ) )-¯x^((l^’ ) ) )?(n-1)
عناصر قطري S متناظر با واريانس‌هاي نمونه هستند، وقتي کوواريانس با انحراف معياريهاي مناسب استاندارد شود، مقدار تخميني ،حاصل ضريب همبستگي بين دو متغير را تخمين مي‌زند.
اگر نمونه از k زير گروه تشکيل شده باشد که اندازه‌ي هر کدام n باشد و اگر ميانگين و ماتريس کوواريانس j امين زير گروه به ترتيب s_j , x ?_j باشد.j=1,..,k آنگاه ميانگين کل و ماتريس کوواريانس آميخته19 به صورت زير تعريف مي‌گردد.
x ?=?_(j=1)^k?x ?_j?k=?_(j=1)^k??_(i=1)^n??x_ij?k n?
s_p=??((n-1)s_j)?[k(n-)]
محاسبات را با دو مجموعه داده‌هاي شبيه سازي شده تشريح مي‌کنيم. اولين نمونه از يک توزيع دو متغيره با مشاهدات غير گروهبندي توليد شده است.
مشاهدات در دومين گروه داده‌ها چهار متغيره دو به دو گروهبندي شده دارد، يعني دو زير گروه ((k=2. فايده‌ي استفاده از داده‌هاي شبيه سازي شده براي توضيح تئوري اين است که توزيع اصلي و پارامترهايش معلوم هستند، بنابراين مي‌توانيم عملکرد آزمون فرضيه آماري را در شرايط کنترل شده بررسي کنيم در اولين مجمموعه داده‌ها، پارامترهاي 50 مشاهده‌ي اول همانند مقادير تجربي محاسبه شده براي پارامتر 1 و پارامتر 2 براي 30 مشاهده‌ي اول مطالعه موردي اول هستند يعني:
?=?_0=[?(?_0^((1) )@?_0^((2) ) )]=[?(49.91@60.05)]
و ?=0.723, ?_2=0.037 , ?_1=0.037 و ماتريس کوواريانس جمعيت ?10000 برابر است با :
???=[?(13.69&9.90@9.90&13.69)] ?
50 مشاهده‌ي اول يک نمونه پايه20 تحت کنترل (با قابليت فرآيند21 تحت کنترل) را نشان مي‌هد ميانگين نمونه براي آن مشاهدات عبارت است از:
x ?=[?(49.9026@60.0441)]
و عناصر ماتريس s عبارتند از:
s_11=?_(i=1)^50?(x_i^((1) )-49.9026)^2?(49=0.00122)
?s_12=s?_21=?_(i=1)^50??(x_i^((1) )-49.9026)^2 (x_i^((2) )-60.0441)^2?(49=0.00114)?
s_22=?_(i=1)^50?(x_i^((2) )-60.0441)^2?(49=0.001367)
يعني
s=[?(0.00122&0.00114@0.00114&0.001367)]
يادآوري مي کنيم در سراسر کتاب محاسبات مي‌توانند توسط minitab با سايرنرم افزارهاي آماري انجام گيرد.
با داده‌هاي ضريب ماتريس s ضريب همبستگي نمونه به صورت زير بدست مي‌آيد
r=0.00114/?(0.00122 0.001367)=0.883
براي دومين مجموعه داده‌ها پارامترهاي 50 زير گروه اول با مقادير تجربي محاسبه شده براي 4 قطر (يعني قطر 1-4) در 30 مشاهده‌ي اول مطالعه موردي اول تعيين مي‌گردد يعني:
?=?_0=[?(?^((1) )@?^((2) )@?^((3) )@?^((4) ) )][?(9.9863@9.9787@9.9743@14.9763)]
و ماتريس کوواريانس ? 10000 برابر است با:
???=[?(1.8264 @1.7080 @1.8195 @1.8264)?(1.7080@1.8437@1.8529 @1.8460)?( 1.8195 @ 1.8529@2.1161@ 1.9575) ?(1.8264@1.8460@1.9575@2.5092)] ?
توزيع اصلي داده‌ها شبيه سازي شده نرمال چند متغيره با پارامتر هاي فوق است داده‌ها در 50 زير گروه به اندازه 2 براي هر کدام دسته بندي شده‌اند بنابراين اولين گروه شامل مشاهدات زير است:
x_1^’=[9.9976 9.9830 9.9804 14.9848]
x_2^’=[9.9553 9.9574 9.9543 14.9492]
و بردار ميانگين اولين زير گروه عبارت است از:
x_1^’ [9.9765 9.9702 9.9673 14.9670]
و ماتريس کوواريانس دروني زير گروه (x10000) برابر است با:
s_1=[?(8.9558 5.4181 5.5307 7.5527 @5.4181 3.2779 3.3460 4.5692@5.5307 3.3460 3.4156 4.6642@7.5527 4.5692 4.6642 6.3693)]
و به همين ترتيب براي 50 زير گروه محاسبات انجام شده و نتايج زير بدست آمده‌اند:
x ?=?_(j=1)^50??x ? ? j?(50=[9.9864 9.9793 9.9752 14.9768])
10000s_p=10000?_(j=1)^50??(50-1) ( s_j)?[50(2-1)] ?
=[?(1.2151 @1.1428 @1.1600 @1.2669 )?(1.1428 @1.3559 @1.2854 @1.2792)?(1.1600@1.2854 @1.5728 @ 1.4183 )?( 1.2669@1.2792@1.4484@1.6854)]
برنامه minicab به راحتي ماتريس s_p محاسبه مي کند.
جزئيات تئوي تخمين هاي s_p , s , x ? , x ? به صورت گسترده مطالعه شده، و سعي شده است تحت معيارهاي مختلف (کفايت22، انطباق23، تماميت24) بهينه باشد.
جزئيات تئوري تخمين براي نمونه‌هاي نرمال تصادفي x_n , …, x_1 با قضاياي زير بيان مي‌گردند ]17[:
i)x ?~N_P (?,1/n?)
ii) اگر x ? به صورت i توزيع شده باشد داريم:
n(x ?-?)’?^(-1) (x ?-?)~?_p^2

که ?_p^2 توزيع خي دو25 p درجه آزادي است.
(iii (n-1)S~W_p (n-1,?)
که w(. ,.) توزيع ويشارت26 است. اين توزيع حالت چند متغيره‌ي خي دو است.
iv) اگر Z و D متغيرهاي تصادفي مستقل باشند که به صورت زير توزيع شده‌اند.
Z~N_P (0 , ?_z )
fD~W_p (f,?_z)
فرم توان دوم زير در قرار است:
T^2=Z’DZ
که به صورت زير توزيع شده است:
T^2~fp/(f-p+1) F_(p,f-p+1)
که F_(p,f-p+1) توزيع فيشر27 با (p , f-p+1) درجه آزادي است. اگر ارزش انتظاري z را با ?_z نشان دهيم و مخالف صفر باشد (?_z?0) آنگاه T^2 (ضرب شده با ثابت‌هاي مناسب) يک توزيع f غير مرکزي با پارامتر مرکزيت ?_z^’??_z دارد.
v) اگر z~N_p (0 , ?_z) و fD~w_p (f_p , ?_z) که f>p باشد و fD را بتوانيم به صورت fD=(f-1) D_1+ZZ’ تجزيه کرد بطوري که:
(f-1) D_1~w_p (f-1, ?) و z از D_1 مستقل باشد فرم توان دوم زير را داريم:
T^2=Z’D^(-1) Z
و بصورت زير توزيع مي‌گردد:
T^2~fB(p , f-p)
که B(p, f-p) توزيع مرکزي بتا با (f, f-p) درجه آزادي است
اگر ارزش انتظاري ?_z , z مخالف صفر باشد T^2 توزيع غير مرکزي با پارامتر عدم مرکزيت ?_z^’ ?_z^(-1)??_z دارد.
دقت کنيد بر خلاف (iv) اگر چه Z از D_1 مستقل است ولي از D مستقل فرض نشده است.
vi) اگر نمونه از k زير گروه به اندازه‌اي n تشکيل شده باشد که از توزيع بالا نشأت گرفته‌اند و ميانگين زير گروه‌ها x ?_j j=1,…, k و ميانگين کل x ? باشد داريم:
x ?=?_(j=1)^k??x ?_j?k=?_(j=1)^k??_(j=1)^k?x_ij?kn?
و
?(kn/(k-1)) (x ?_j-x ? )~N_p (0 , ?)
vii) تحت شرايط (ii) اگر y_1, …, y_n زير گروه‌هاي اضافي از توزيع يکسان باشند آنگاه :
?(kn/(k+1)) (y ?-x ? )~N_p (0 , ?)
viii) اگر نمونه از k زير گروه به اندازه‌ي n تشکيل شده باشد که عيناً توزيع نرمال چند متغيره دارند، و اگر s_j ماتريس کوواريانس j اين زير گروه باشد j=1, …, k داريم:
???(n-1) s_j~w_p (k(n-1), ??)
دقت کنيد که خصوصيت اضافي مجموعه متغيرهاي مستقل ويشارت، گسترش خصوصيت خي دو براي حالت تک متغيره است.
جزئيات توزيعي T^2 , s , x ? پايه‌ي تئوري براي استنتاج توزيع‌هاي آماري استفاده شده در کنترل کيفيت چند متغيره را فراهم مي‌سازد که در فصول بعدي بحث مي‌شوند.
آن آماره‌ها فاصله کل از بردار p بعدي ميانگين‌هاي مشاهده‌ شده‌ي مقادير هدف28 m^’=(m^((u) ), …,m^((p) )) را تخمين مي‌زنند اگر y_i^((l) ) براي l=1, …p , i=1,…,n n معيار چند متغيره باشند و y^’=(y ?_((1) ), …,y ?_((p) ) ) ميانگين‌هاي مشاهده شده باشند. آماره‌ي T^2 هتلنيگ29 با ضريب (y ?-m)’ يعني ترانهاده‌ي بردار انحرافات (y-m) محاسبه مي‌گردد به آماره‌يT^2 هتلينگ در فصل قبل وقتي نمودار مقادير کسب شده‌ي 30 مشاهده اول را از مطالعه موردي اول ارائه کرديم اشاره گرديد.
وقتي نمونه‌ي y_1,…, y_n از n مشاهده‌ي p بعدي نرمال مستقل براي تخمين فاصله‌ي بين y ? و ارزش انتظاري ? بکار مي‌رود؛آمارT^2ههتلينگ که با T_M^2نشان داده مي شود به صورت زير است:
T_M^2=n(y ?-µ)^’ S^(-1) (y ?-µ)
آماره‌ي T_m^2 مي‌تواند به صورت رابطه‌ي بين ميانگين‌هاي معيارهاي y_i^((L) ) بيان شود:
T_M^2=n?_(l=1)^p??_(l^’=1)^p??(y ?^((l) )-?^((l) ) ) S^((l,l^’ ) ) (y ?^((l^’ ) )-?^((l^’ ) ) ) ?
که S^((l,l^’ ) ) و l,l^’ اين عنصر ماتريس S^(-1) است.هنگاميکه برنامه Minitab آماره‌ي T^2 را مي‌خواهد محاسبه کند بايد معکوس ماتريس S را محاسبه کرده و براي فرم درجه دوم ماتريس‌هاي مناسب را در هم ضرب کند.
تحت فرض صفر که داده‌ها مستقل و داراي توزيع نرمال هستند. با فرض بردار ميانگين ? آماره‌ي T_m^2 بلافاصله با (iv) تعريف مي‌گردد.
((n-p))/(n-1)p T_m^2~f_(p,n-p)
وقتي مي‌خواهيم فاصله بين تک مشاهده‌ي y از مقدار ? را محاسبه کنيم و ماتريس کوواريانس از n مشاهده‌ي محاسبه شده باشد آماره‌ي T_m^2 به صورت زير بدست مي‌آيد:
T_m^2=(y-?)’s^(-1) (y-?)
حالت خاص ديگر زمان است p=1 باشد در اين حالت آماره‌ايT_m^2 براي تخمين انحراف ميانگين n مشاهده از مقدار ميانگين از مربع آماره‌ي t کسر مي‌شود t=(?n(y ?-?))/s که آماره t براي تست فرضيه‌ي ميانگين جمعيت نرمال تک متغير استفاده مي‌شود. اگر ارزش انتظاري ? , y باشد، آماره‌ي t توزيع t استودنت30 با n-1 درجه آزادي دارد و چون ضريب T_m^2 به يک کاهش يافته است پس طبق انتظار t^2~F_(1, n-1)
محاسبات و فرضيه‌هاي با



قیمت: تومان


پاسخ دهید