دانشگاه صنعتي نوشيرواني بابل
دانشکده مهندسي مکانيک
عنوان:
تحليل رفتارهاي غيرخطي يک تير ترک‌دار با سفتي غيرخطي
ارائه‌شده جهت اخذ درجه کارشناسي ارشد
رشته مهندسي مکانيک-گرايش طراحي کاربردي
اساتيد راهنما:
دکتر مرتضي دردل
دکتر محمد حسنقاسمي
استاد مشاور:
دکتر محمدهادي پاشايي
نگارش:
عمار مفيد نخعي
زمستان 1393
تقدير و تشکر
با حمد و ثناي خداوند متعال، بر خود لازم مي‌دانم از زحمات و راهنمايي‌هاي اساتيد ارزشمند “دکتر مرتضي دردل” ، “دکتر محمد حسن قاسمي ” و “دکتر محمد هادي پاشايي” که در انتخاب موضوع پايان‌نامه، تهيه و تدوين آن در تمام مراحل مرا مورد لطف و عنايت خود قراردادند، تشكر و قدرداني نمايم.
عمار مفيد نخعي
زمستان 1393
تقديم به
پدر سخت‌کوش و مادر مهربانم
خواهر و برادر عزيزم
که زندگي با بودن آنان معنا دارد و بس
به ويژه دکتر دردل
چكيده
در اين تحقيق به بررسي ارتعاش آزاد تير ترکدار و يافتن فرکانس هاي طبيعي پرداخته ايم. در قسمت اول با استفاده از مدل ترک باز با مدل کردن قسمت ترکدار به صورت يک المان به شکل تير و ارضاي شرايط مرزي، فرکانس هاي طبيعي را براي شرايط مرزي مختلف بدست آورده ايم و تغييرات فرکانس طبيعي را به ازاي تغيير پارامترهاي مختلف ترک نشان داديم. در قسمت بعد با همين مدل سازي تير چند ترکه را بررسي کرده و در ادامه، مسئله را براي ترک با شکل هاي هندسي مختلف، مانند بيضي، مثلث و سهمي با استفاده از روش گالرکين حل نموده و فرکانس هاي طبيعي را بدست آورديم در انتها با استفاده از مدل ترک باز و بسته شونده تير ترکدار را با اين فرض که ترک در حين ارتعاش باز و بسته مي شود مدل سازي کرده و معادلات حرکت را براي دو حالت ترک منحني شکل و ترک v- شکل استخراج کرده ايم. براي حل اين معادلات غير خطي از روش ميانگين گيري بهره برده و تغييرات فرکانس طبيعي و همچنين تغيير زاويه ترک را در حين ارتعاش ترک و تغييرات فرکانس طبيعي را به ازاي تغيير عمق ترک براي شرايط مرزي مختلف مورد بررسي قرار داديم.
كلمات كليدي: تير ترک دار، فرکانس طبيعي، ارتعاش آزاد.
فهرست مطالب
فصل 1- مقدمه و مرور کارهاي انجام شده16
1-1مقدمه17
1-2تاريخچه مطالعات و مرور کارهاي انجام شده17
1-3انواع مدل سازي هاي ترک20
1-4بيان مسئله مدل سازي ترک باز20
1-5اهداف و مسائل بررسي شده در پايان نامه21
فصل 2- مدل سازي خطي و غير خطي ترک و بررسي معادلات حرکت22
2-1مقدمه23
2-2معادلات ارتعاش آزاد23
2-2-1تئوري اويلر – برنولي23
2-2-2تئوري تيموشنکو32
2-2-3بررسي تير شامل چند ترک41
2-2-4ترک با شکل هاي هندسي مختلف:45
2-3مدل سازي ترک باز و بسته شونده50
2-3-1مدل سازي ترک ساختار منحني51
2-3-2بررسي ترک v- شکل61
2-3-3حل مسئله با روش ميانگين گيري66
فصل 3- نتايج مدل سازي71
3-1مقدمه72
3-2نتايج ترک باز ساده72
3-2-1تير با نسبت هاي مختلف عمق ترک72
3-2-2تير با نسبت هاي مختلف طول دهانه ترک75
3-2-3بررسي اثر تغيير موقعيت ترک78
3-3بررسي اثر تعداد ترک81
3-3-1بررسي نتايج به ازاي عمق و طول دهانه ثابت و موقعيت هاي متفاوت82
3-3-2بررسي نتايج به ازاي موقعيت و طول دهانه ثابت و عمق هاي متفاوت83
3-3-3بررسي نتايج به ازاي موقعيت و عمق ثابت و طول دهانه هاي متفاوت85
3-4بررسي تير با شکل هاي هندسي مختلف87
3-4-1ترک بيضي شکل87
3-4-2ترک سهمي شکل91
3-4-3ترک مثلثي92
3-5ترک باز و بسته شونده 95
3-5-1ترک منحني با ساختار دايره اي شکل96
3-6شکل مود، شکل شيب، گشتاور خمشي و نيروي برشي106
3-7اعتبار سنجي نتايج مدل هاي پيشنهادي111
3-7-1ترک باز ساده111
3-7-2ترک مثلثي شکل112
3-7-3ترک باز و بسته شونده115
فصل 4- نتيجه گيري و پيشنهادات117
4-1نتيجه گيري118
فهرست اشکال
شکل ‏2-1:الف) تير به طول با يک ترک به عمق در موقعيت نشان داده شده. ب)همان تير با فنر پيچشي جايگزين ترک با سفتي 23
شکل ‏2-2: تير ترکدار به طول L ،ارتفاع h، عمق ترک h_c و طول دهانه d_o24
شکل ‏2-3 تير دو سر گير دار27
شکل ‏2-4: تير يک سر گير دار – يک سر آزاد31
شکل ‏2-5 تير دو سر لولا31
شکل ‏2-6: تير گيردار – مفصل برشي (در مفصل برشي، شيب و نيروي برشي صفر است.)32
شکل ‏2-7 : تير به طول ,شامل دو ترک به عمق وارتفاع و طول دهانه ترک 41
شکل ‏2-8 تيربه طول ,شامل سه ترک به عمق وارتفاع و طول دهانه ترک 42
شکل ‏2-9 : تيربه طول , وارتفاع ، شامل يک ترک مثلثي به عمق و طول دهانه ترک 48
شکل ‏2-10 : تيربه طول , وارتفاع ، شامل يک ترک بيضوي به عمق و طول دهانه ترک 48
شکل ‏2-11 : تيربه طول , وارتفاع ، شامل يک ترک سهموي به صورت عمودي به عمق و طول دهانه ترک50
شکل ‏2-12 : تير به طول , وارتفاع ، شامل يک ترک سهموي به صورت افقي به عمق و طول دهانه ترک 50
شکل ‏2-13 : تير ترکدار با ترک منحني شکل با شعاع انحناهاي متفاوت، عمق و طول وجه 51
شکل ‏2-14 ترک با ساختار منحني دايره اي شکل به شعاع انحنايدر دو طرف و زاويه اوليه و طول دهانه 51
شکل ‏2-15 : موقعيت نقاط ابتدا و انتهاي ترک و نيز تغييرات هندسه ترک در حين ارتعاش53
شکل ‏2-16 ترک با ساختار v-شکل و مشخصات هندسي61
شکل ‏2-17 : ترک با ساختار v- شکل در حين ارتعاش در هنگام بسته شدن.62
شکل ‏3-1 : تغيير فرکانس طبيعي تير دوسر گيردار به ازاي و موقعيت96
شکل ‏3-2: تغيير زاويه ترک تير دوسر گيردار در حين ارتعاش به ازاي و موقعيت 97
شکل ‏3-3: تغييرات فرکانس طبيعي تير دوسر گيردار در حين ارتعاش به ازاي عمق هاي مختلف ترک و موقعيت 97
شکل ‏3-4: تغييرات فرکانس طبيعي تير دوسر گيردار در حين ارتعاش در موقعيت هاي مختلف به ازاي .98
شکل ‏3-5: تغيير فرکانس طبيعي تير يکسر گيردار به ازاي و موقعيت.99
شکل ‏3-6: تغيير زاويه ترک تير يکسر گيردار در حين ارتعاش به ازاي و موقعيت.99
شکل‏ 3-7: تغييرات فرکانس طبيعي تير يکسر گيردار به ازاي نسبت عمق هاي مختلف و موقعيت.100
شکل ‏3-8: تغييرات فرکانس طبيعي تير يکسر گيردار به ازاي موقعيت هاي مختلف و عمق ترک .100
شکل ‏3-9: تغييرات فرکانس طبيعي تير دو سر لولا به ازاي و موقعيت .101
شکل ‏3-10: تغيير زاويه ترک تير دو سر لولا در حين ارتعاش براي و موقعيت .101
شکل ‏3-11: تغيير فرکانس طبيعي تير دو سر لولا در حين ارتعاش به ازاي عمق هاي مختلف و موقعيت .102
شکل ‏3-12: تغيير فرکانس طبيعي تير دوسر لولا در حين ارتعاش به ازاي موقعيت هاي مختلف و .102
شکل ‏3-13: تغيير فرکانس طبيعي مود دوم تير دوسر گيردار به ازاي و موقعيت .103
شکل ‏3-14: تغيير زاويه ترک در حالت دو مود براي تير دوسر گيردار در حين ارتعاش به ازاي و موقعيت .103
شکل ‏3-15: تغيير فرکانس طبيعي تير دوسر لولا در حالت دو مود به ازاي عمقو موقعيت .104
شکل ‏3-16: تغيير زاويه ترک تير دوسر لولا در حالت دو مود به ازاي عمق و موقعيت .104
شکل ‏3-17: تغيير فرکانس طبيعي دوم تير دوسر لولا به ازاي عمق هاي مختلف و موقعيت .105
شکل ‏3-18: تغيير فرکانس طبيعي دوم تير لولا-مفصل برشي به ازاي عمقو موقعيت.105
شکل ‏3-19: تغيير زاويه ترک تير لولا-مفصل برشي در مود دوم به ازاي عمقو موقعيت.106
شکل ‏3-20: تغيير فرکانس طبيعي دوم تير لولا-مفصل برشي به ازاي عمق هاي مختلف و موقعيت .106
شکل ‏3-21: شکل مد اول و دوم تير دو سرگيردار به ازاي عمق ترک الف)، ب).107
شکل ‏3-22: شکل شيب اول و دوم تير دو سرگيردار به ازاي عمق ترک الف) ، ب).108
شکل ‏3-23: گشتاور خمشي مد اول و دوم تير دو سرگيردار به ازاي عمق ترک الف) ، ب).108
شکل ‏3-24: نيروي برشي مد اول و دوم تير دو سرگيردار به ازاي عمق ترک الف) ، ب).109
شکل ‏3-25: شکل مد اول و دوم تير يک سرگيردار به ازاي عمق ترک الف) ، ب).109
شکل ‏3-26: شکل شيب اول و دوم تير يک سرگيردار به ازاي عمق ترک الف)، ب) .110
شکل ‏3-27: گشتاور خمشي مد اول و دوم تير يک سرگيردار به ازاي عمق ترک الف) ، ب) .110
شکل ‏3-28: نيروي برشي مد اول و دوم تير يک سرگيردار به ازاي عمق ترک الف) ، ب).111
شکل ‏3-29: مقايسه نتايج بدست آمده از روش پيشنهادي با نتايج تجربي در مرجع [18] و روش المان محدود مرجع [20].112
شکل ‏3-30: مقايسه نسبت فرکانسي پايه بدست آمده بر اساس روش پيشنهادي با نتايج تحليلي مرجع [20].113
شکل ‏3-31: مقايسه نسبت فرکانسي سوم بدست آمده بر اساس روش پيشنهادي با نتايج تحليلي مرجع [20].113
شکل ‏3-32: مقايسه شکل مود اول ارتعاشي تير دو سر لولا به ازاي عمق ترک و موقعيت ترک 114
شکل ‏3-33: مقايسه شکل مود دوم ارتعاشي تير دو سر لولا به ازاي عمق ترک و موقعيت ترک 114
شکل ‏3-34: مقايسه شکل مود سوم ارتعاشي تير دو سر لولا به ازاي عمق ترک و موقعيت ترک 115
شکل ‏3-35: مقايسه نتايج بدست آمده از مدل ارائه شده با داده هاي آزمايشگاهي و مدل تحليلي در مرجع [69]116
فهرست جداول
جدول ‏3-1: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير دو سر گيردار با عمق هاي مختلف و موقعيت ترک و طول دهانهو مقايسه نتايج با روش متعارف و تير سالم73
جدول ‏3-2: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير يکسر گيردار با عمق هاي مختلف و موقعيت ترک و طول دهانه و مقايسه نتايج با روش متعارف و تير سالم73
جدول ‏3-3: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير گيردار-مفصل برشي با عمق هاي مختلف و موقعيت ترک و طول دهانه و مقايسه نتايج با روش متعارف و تير سالم74
جدول ‏3-4: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير دو سر لولا با عمق هاي مختلف و موقعيت ترک و طول دهانه و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم74
جدول ‏3-5: فرکانس هاي طبيعي تير دو سر گيردار با طول هاي مختلف دهانه ترک و موقعيت ترک و عمق ترک و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم75
جدول ‏3-6: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير يکسر گيردار با طول هاي مختلف دهانه ترک و موقعيت ترک و عمق ترک و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم76
جدول ‏3-7: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير گيردار- مفصل برشي با طول هاي مختلف دهانه ترک و موقعيت ترک و عمق ترک و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم77
جدول ‏3-8: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير دو سر لولا با طول هاي مختلف دهانه ترک و موقعيت ترک و عمق ترک و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم77
جدول ‏3-9: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير دو سر گيردار با موقعيت هاي مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم78
جدول ‏3-10: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير يک سر گيردار با موقعيت هاي مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقايسه نتايج با روش متعارف و تير سالم79
جدول ‏3-11: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير دو سر لولا با موقعيت هاي مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم80
جدول ‏3-12: فرکانس هاي طبيعي مربوط به تير گيردار- مفصل برشي با موقعيت هاي مختلف ترک و طول دهانه و عمق ترک و مقايسه اين نتايج با روش متعارف و تير سالم81
جدول ‏3-13: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار و تير يک سر گيردار به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 82
جدول ‏3-14: فرکانس هاي طبيعي تير گيردار-مفصل برشي و تير لولا- مفصل برشي به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 82
جدول ‏3-15: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار و تير يک سر گيردار به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 83
جدول ‏3-16: فرکانس هاي طبيعي تير گيردار-مفصل برشي و تير لولا- مفصل برشي به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 83
جدول ‏3-17: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار و تير يک سر گيردار به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 84
جدول ‏3-18: فرکانس هاي طبيعي تير گيردار-مفصل برشي و تير لولا- مفصل برشي به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 84
جدول ‏3-19: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار و تير يک سر گيردار به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 84
جدول ‏3-20: فرکانس هاي طبيعي تير گيردار-مفصل برشي و تير لولا- مفصل برشي به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 85
جدول ‏3-21: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار و تير يک سر گيردار به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 85
جدول ‏3-22: فرکانس هاي طبيعي تير گيردار-مفصل برشي و تير لولا- مفصل برشي به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 86
جدول ‏3-23: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار و تير يک سر گيردار به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 86
جدول ‏3-24: فرکانس هاي طبيعي تير گيردار-مفصل برشي و تير لولا- مفصل برشي به ازاي و طول دهانه ترک و موقعيت هاي 87
جدول ‏3-25: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار با ترک بيضي شکل به ازاي عمق هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف قطر و موقعيت ترک در ميانه تير88
جدول ‏3-26: فرکانس هاي طبيعي تير يک سرگيردار با ترک بيضي شکل به ازاي عمق هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف قطر و موقعيت ترک در ميانه تير88
جدول ‏3-27: فرکانس هاي طبيعي تير دو سر لولا با ترک بيضي شکل به ازاي عمق هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف قطر و موقعيت ترک در ميانه تير89
جدول ‏3-28: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار با ترک بيضي شکل به ازاي موقعيت هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف قطر و عمق ترک 89
جدول ‏3-29: فرکانس هاي طبيعي تير يک سرگيردار با ترک بيضي شکل به ازاي موقعيت هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف قطر و عمق ترک 90
جدول ‏3-30: فرکانس هاي طبيعي تير دو سر لولا با ترک بيضي شکل به ازاي موقعيت هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف قطر و عمق ترک 90
جدول ‏3-31: فرکانس هاي طبيعي تير با شرايط مرزي مختلف با ترک سهمي شکل به ازاي عمق هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف و موقعيت ترک در ميانه تير91
جدول ‏3-32: فرکانس هاي طبيعي تير با شرايط مرزي مختلف با ترک سهمي شکل به ازاي عمق هاي مختلف ترک و نسبت هاي مختلف و موقعيت ترک در ميانه تير92
جدول ‏3-33: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار با ترک مثلثي به ازاي عمق هاي مختلف ترک و مقادير مختلف و موقعيت ترک در ميانه تير92
جدول ‏3-34: فرکانس هاي طبيعي تير يک سرگيردار با ترک مثلثي به ازاي عمق هاي مختلف ترک و مقادير مختلف و موقعيت ترک در ميانه تير93
جدول ‏3-35: فرکانس هاي طبيعي تير دو سر لولا با ترک مثلثي به ازاي عمق هاي مختلف ترک و مقادير مختلف و موقعيت ترک در ميانه تير93
جدول ‏3-36: فرکانس هاي طبيعي تير دو سرگيردار با ترک مثلثي به ازاي موقعيت هاي مختلف ترک و مقادير مختلف و عمق 94
جدول ‏3-37: فرکانس هاي طبيعي تير يک سرگيردار با ترک مثلثي به ازاي موقعيت هاي مختلف ترک و مقادير مختلف و عمق 94
جدول ‏3-38: فرکانس هاي طبيعي تير دو سر لولا با ترک مثلثي به ازاي موقعيت هاي مختلف ترک و مقادير مختلف و عمق 95
جدول ‏3-39: مقايسه نتايج روش پيشنهادي بامدل آزمايشگاهي در مرجع [68]111
مقدمه و مرور کارهاي انجام شده
مقدمه
يکي از مشکلات مهم در تيرها و محورها وجود ترک در آن هاست. اين ترک ها اغلب به واسطه خستگي به وجود مي آيند و يکي از عوامل، در بروز خرابي ها در محورها مي باشند. وجود ترک سبب تغيير در مشخصه هاي ارتعاشي مي شود و محققان دريافته اند که، اغلبِ دامنه اين ارتعاشاتِ ساختارهاي ترکدار، بستگي به عمق، موقعيت و شکل ترک نسبت به شکل مودهاي سيستم دارد. از اين رو يک تحقيق جامع و دقيق در مورد ارتعاشات ساختارهاي ترکدار بسيار ضروري است. در سال هاي اخير تلاش هاي زيادي در راستاي حل تحليلي براي اينگونه مسائل صورت گرفته است. ايجاد خرابي هاي ناگهاني در سازه ها محققين را به سمت تحقيق روي ديناميک سازه ها سوق داده است. از اين رو بررسي و تحقيق در مورد پاسخ زماني، شکل مود، شکل شيب و مهمتر از همه اندازه گيري فرکانس طبيعيِ سازه ترکدار مي تواند به عنوان يک شاخص در تحقيقات در نظر گرفته شود.
هدف از اين پروژه ارائه روشي ساده و کاربردي براي پيدا کردن فرکانس هاي طبيعي يک تير ترکدار با در نظر گرفتن تأثير همه پارامترهاي مربوط به ترک، بدون استفاده از روابط مربوط به مکانيک شکست مي باشد. همچنين در قسمت مدل سازي ترک باز و بسته شونده، هدف مدل سازي ارائه مدلي است که تاثير همه پارامترهاي ترک در آن لحاظ شده و بتوان با استفاده از آن فرکانس طبيعي تير را در حين ارتعاش بدست آورد.
تاريخچه مطالعات و مرور کارهاي انجام شده
وجود ترک در سازه ها باعث کاهش سفتي و تغيير در خصوصيات ديناميکي مانند کاهش فرکانس طبيعي و تغيير در شکل هاي مودي مي شود[1و2]. در سال 1998 چندروس1 و همکارانش، مسأله را براي تير ترکدار يک لبه و دو لبه، به صورت جامع بررسي کردند[3]. برخي کوشيده اند تا با روش هاي عددي به مسأله بپردازند[4-10].در حل عددي مسأله نيز پارامترهايي نظير فرکانس طبيعي، ضريب تمرکز تنش و شکل هاي مودي مورد بررسي قرار گرفته اند.براي توضيح رفتار ديناميکي سازه هاي آسيب ديده روش هاي تحليلي متعددي به کار گرفته شده است. براي مدل سازي ترک نيز، مدلهاي بسياري ارائه شده است؛ که اين مدل سازيها را مي توان در سه گروه دسته بندي کرد. برخي کوشيده اند تا با در نظر گرفتن کاهش سفتي موضعي در سازه مسئله را حل کنند[11]. اين مدل بر اساس روش المان محدود استوار است. هايستي و اسپرينگر2[12]، گوناريس و ديماروگيناس3[13]، تحقيقات خوبي را در مورد بررسي اثر ترک روي يک ناحيه از تير ترکدار با استفاده از تعميم روش المان محدود انجام داده اند. ابراهيم [14] با ارائه يک مدل الاستو-پلاستيک به بررسي تغيير شکل ترک در رأس آن پرداخت. برخي ديگر تلاش کرده اند تا نرمي نسبي موضعي ايجاد شده را تخمين بزنند [15]. در اين رويکرد بخش آسيب نديده سازه با استفاده از روش هاي استاندارد مانند4FEM يا معادلات مشقات جزئي و ترکيب اجزاي محدود مدل شده و ترک با يک فنر انعطاف پذير نشان داده مي شود. با استفاده از ماتريس سازگاري عبارات و معادلات براي ميزان انرژي کرنشي آزاد شده و يا ضريب تمرکز تنش بدست مي آيد. کيزمسر5[16] و همکارانش جزء اولين بررسي کننده هاي اين موضوع بودند. آنها اثر ترک را توسط نيروها يا گشتاورهاي معادل در موقعيت ناپيوستگي سازه بررسي کردند. ديماروگيناس [17] ثابت هاي ماتريس سازگاري را بر اساس روابط مکانيک شکست بدست آورده و از آن براي آناليز ارتعاش استفاده کرد. کريستيدزمد و بار6 [18] به شکل عمده اي مدل هاي مختلف را براي بررسي ارتعاشات عمودي يک تير ترکدار دولبه متقارن و بررسي ارتعاشات پيچشي يک ميله ترکدار بر اساس تئوري اويلر-برنولي گسترش دادند. مدلهاي ارائه شده توسط کريستيدز و بار، در سالهاي اخير توسط شِن و پيِر7[19-20-21] بهبود و گسترش داده شد. آنها ابتدا تخميني از پارامتر آسيب ديده با استفاده از مدلهاي المان محدود دو بعدي ارائه کرده و سپس با اعمال ايده هاي مشابه به توسيع و گسترش مدلهاي قبلي براي تير ترکدار پرداخته اند. چندروس و ديماروگيناس [22-23-24] رويکردي مشابه ارائه کردند اما در بررسي هاي آنها که به آن تابع ترک گفته مي شود از روابط انرژي و مفاهيم مکانيک شکست استفاده شده است. در اين رويکرد تلاش شده است تا ايده هاي کريستيدز و بار را با ديماروگيناس ترکيب کنند. رويکرد سوم، چشم پوشي از اثر برش در مقطع است و ارائه يک مدل پيوسته از تير ترکدار است که با اين فرض مي توان ترک را با يک فنر پيچشي جايگزين کرد. هر دو روش نرمي نسبي و مدل پيوسته، توصيفي از سازه را وقتي که ترک به صورت باز در نظر گرفته مي شود ارائه مي کند. عموما در تحليل ها ترک را از نوع باز در نظر مي گيرند تا از اثرات غيرخطي بودن مسأله که ناشي از باز و بسته شدن ترک مي باشد، صرف نظر کنند. برخي مطالعات آزمايشگاهي نيز براي بررسي درستي مدل ها انجام شده است. در اکثر موارد ترک ها با ايجاد يک برش ريز درنمونه ايجاد شده است. برخي از نتايج آزمايشگاهي توسط آدامز و کولي8 [25]، و همچنين روتولو9 [26]، براي چند ترک ارائه شده است. رفتار غيرخطي ترک، با استفاده از روش پرتوربيشن10 توسط بسياري از محققان مانند گودموندسون11 [27]، ياسينسکي [28]، پلاختينکو و ياسينسکي12 [29] و بالو13 [30] انجام پذيرفته است. جاسيمت [31] به بررسي ارتعاش تير ترکدار يکسرگيردار و الشوديفات [32] با استفاده از رويکرد المان محدود به بررسي ارتعاش روتور ترکدار پرداختند. روش تعادل هارمونيک براي حل معادلات حرکت و آناليز رفتار ديناميکي سيستم استفاده مي شود. بررسي رفتار ديناميکي يک تير ترکدار با يک ترک با در نظر گرفتن تغيير شکل برشي و سفتي محوري توسط گومز و آلميدا14 [33] ارائه شده است. کادمي و مورراسي15 [34] به بررسي مدل سازي رياضي و حل دقيق يک تير با چند ترک بر اساس تئوري اويلر- برنولي پرداختند. بسياري از مطالعاتي که در مورد تيرهاي شامل چند ترک انجام شده است، مسأله مستقيم يعني تعيين فرکانسهاي تير با چند ترک را بررسي نموده اند. اما مقالاتي نيز[35-38]، مسأله معکوس يعني رديابي ترک از روي پاسخ ديناميکي تير را بررسي نموده اند. مسأله رديابي چند ترک از پيچيدگي بسيار بيشتري نسبت به تعيين موقعيت و اندازه يک ترک در طول تير برخوردار است. براي حل اين مسأله چوي16 و همكارانش [39]، اثر ترک را به صورت کاهش صلبيت خمشي تير، در اطراف ترک مدل کرده و حل را به کمک روش ماتريس انتقال بدست آورده اند. محققان ديگري به سرپرستي ژنگ17 [40، 41]، از روش سري فوريه اصلاح شده استفاده کرده‌اند. اغلب تحقيقات انجام شده در مورد تير ترکدار با استفاده از تئوري اويلر- برنولي براي شرايط مرزي مختلف انجام شده است[42-45]. در اين ميان گروهي با بهره گيري از تئوري تيموشنکو به ارائه مدل و بررسي تير ترکدار پرداخته اند. له له و مايتي18 [46] معادله مشخصه، براي تير ترکدار تيموشنکو را با يک دترمينان مرتبه هشت بيان کردند. دسته ديگري از تحقيقات انجام شده در مورد تير ترکدار، بررسي ارتعاشات، هنگام عبور بار متحرک است. زيبده19 [47] مسئله را براي بار متحرک تصادفي در تير، تحت اثر بار محوري بررسي کرد. روش دامنه زمان، مودال و روش تحليل فرکانسي ازروش هاي مورد بررسي در اين تحقيقات هستند. ميچالتسوس20 [48] رفتار ديناميکي تير ساده اويلر- برنولي يک لبه را در اثر عبور يک بار متمرکز با محتواي حرکت متفاوت بررسي کرد. در اين تحقيق اثر تغيير سرعت و همچنين شتاب دار شدن حرکت در عبور بار بررسي شده است. ابو هلال21[49] در سال 2006 پاسخ تير دولبه را در عبور يک بار ثابت بررسي کرد. سيسمک و کوکاتورک22 [50] تير سالم اويلر- برنولي را در عبور يک بار هارمونيک مورد بررسي قرار دادند. در تحقيق ذکر شده رفتار سازه در مقطع تير به صورت يک تابع نمايي فرض شده است. اين رفتار سازه در اصطلاح FGM23 ناميده مي شود. يانگ و همکارانش24 [51] با فرض رفتار تابعي سازه، تير ترکدار اويلر- برنولي را مورد بررسي قرار دادند. مبناي بخش عمده اي از تحقيقات اخير در هر دو روش تحليلي و عددي، تغيير در فرکانس هاي طبيعي[52-58]، اندازه گيري نرمي ديناميکي[59-60] يا مقايسه شکل هاي مودي [61-64] بوده است. در ميان رويکردهاي ذکر شده، بررسي تغيير در فرکانس هاي طبيعي به واسطه سهولت نسبي در به کارگيري، هزينه و سرعت در تحليل نتايج، روش معمول تري است[53-60]. در بيشتر تحقيقات انجام شده در مورد تير ترکدار، ترک را با يک فنر پيچشي (دوراني) بدون جرم، مدل کرده و تير را در موقعيت ترک به دو قسمت تقسيم کرده که توسط اين فنر پيچشي به يکديگر متصل مي شوند. سفتي اين فنر توسط روابط موجود در مکانيک شکست محاسبه شده که تنها به عمق ترک وابسته است و ساير پارامترها مانند موقعيت و طول دهانه ترک، در نظر گرفته نمي شود. بررسي تحقيقات اخير براي سازه هاي آسيب ديده نشان مي دهد که مسأله ترک در تير و تشخيص آن با روش هاي مبتني بر ارتعاشات، طي سه دهه اخير مورد علاقه محققين بسياري بوده است [61-66].

انواع مدل سازي هاي ترک
براي بررسي رفتار ديناميکي تير ترکدار، بررسي فرکانس طبيعي يکي از بررسي هاي معمول مي باشد. به طور کلي براي آناليز تير ترکدار دو نوع مدل سازي وجود دارد: مدل سازي خطي و غيرخطي.
در مدل سازي خطي، ترک را به صورت باز (open crack) در نظر مي گيرند، يعني فرض مي شود که ترک در حين ارتعاش همواره باز باقي مي ماند و تغييري در آن ايجاد نمي شود. بررسي هاي انجام شده، در مراجع [13،14،17،18] از اين فرض استفاده کرده اند.
در مدل سازي غيرخطي، فرض مي شود که ترک در حين ارتعاش باز و بسته مي شود که به اين نوع ترک ها (breathing crack) گفته مي شود. يعني ترک از يک موقعيت کاملا باز به يک موقعيت کاملا بسته تغيير مي کند. با اين فرض اثرات غيرخطي ناشي از باز و بسته شدن ترک در معادلات وارد مي شود، مانند تحقيقات موجود در مراجع[67،68،69].
بيان مسئله مدل سازي ترک باز
يکي از راه هاي بررسي و تحقيق در مورد تير ترکدار بررسي فرکانس هاي طبيعي مربوط به آن است. در مدل هاي قبلي ارائه شده، در موقعيت ترک، يک فنر پيچشي قرار داده مي شود و تير در اين موقعيت، به دو قسمت تقسيم شده که توسط فنر به يکديگر متصل مي شوند. موضوع مورد اهميت در اين مدل سازي پيدا کردن سفتي اين فنر مي باشد. براي محاسبه سفتي فنر از روابط موجود در مکانيک شکست استفاده شده اما اشکال اين مدل سازي در اين است که در محاسبه سفتي، پارامتر در نظر گرفته شده تنها عمق ترک مي باشد و پارامترهاي ديگر، مانند موقعيت و طول دهانه ترک به عنوان پارامتر تأثير گذار در نظر گرفته نمي شود. در اين پژوهش سعي شده به ارائه مدلي پرداخته شود که اثر همه اين پارامترها براي پيدا کردن فرکانس طبيعي دخالت داده شود، ضمن اينکه ديگر به استفاده از روابط مکانيک شکست نيازي نباشد. بر اين اساس، ترک را با يک تير که داراي گشتاور دوم سطح متفاوت نسبت به قسمت هاي بدون ترک تير است مدل کرده و سپس شرايط پيوستگي، براي دو طرف اين تير تأمين مي شود. با اين کار اثر عمق ترک، موقعيت ترک و نيز طول دهانه ترک در معادلات وارد مي شود و چون ديگر فنري در مدل سازي وجود ندارد نيازي به استفاده از روابط مکانيک شکست نخواهيم داشت. در ادامه با اين مدل سازي به بررسي تير ترکدار با دو و سه ترک و تير ترکدار با شکل هاي هندسي مختلف ترک مانند ترک بيضوي، سهموي و مثلثي مي پردازيم.
اهداف و مسائل بررسي شده در پايان نامه
هدف از اين پژوهش و بررسي، ارائه مدلي براي مدل سازي ترک باز (مدل سازي خطي) و همچنين ارائه مدلي براي مدل سازي ترک باز و بسته شونده (مدل سازي غيرخطي) مي باشد. در قسمت اول مدلي ارائه شده تا اثر همه پارامترهاي ترک مانند عمق، موقعيت و طول دهانه ترک را در ارتعاش تير در نظر بگيرد. مزيت اين روش نسبت به ساير مدل سازي ها اين است که در مدل سازي هاي قبلي تنها اثر عمق ترک در نظر گرفته مي شد و از اثر موقعيت و طول دهانه ترک را به عنوان پارامتر تأثيرگذار چشم پوشي مي شد و ديگر اينکه نياز به استفاده از روابط علم مکانيک شکست براي پيدا کردن فرکانس طبيعي تير ترکدار نمي باشد. در ادامه به بررسي تير ترکدار با شکل هاي هندسي مختلف ترک پرداخته مي شود. در اين قسمت براي پيدا کردن فرکانس هاي طبيعي نياز به روش گالرکين25 مي باشد. ضمن اينکه براي اين قسمت به دليل عدم وجود نتايج تجربي يا تحقيقات ديگر مقايسه اي انجام نشده است، و تنها نشان داديم که فرکانس هاي طبيعي بدست آمده از تير سالم کمتر است. در قسمت دوم به ارائه مدل غيرخطي پرداخته شده است که باز و بسته شدن ترک را در حين ارتعاش بررسي مي کند و با استفاده از روش ميانگين گيري (averaging) به حل مسأله و پيدا کردن فرکانس هاي طبيعي و نيز زاويه باز و بسته شدن ترک در حين ارتعاش پرداخته شده است.

مدل سازي خطي و غير خطي ترک و بررسي معادلات حرکت

مقدمه
در بسياري از بررسي هاي انجام گرفته براي تحليل ارتعاش تير ترکدار، از فرض ترک باز استفاده مي شود. يعني ترک در حين ارتعاش باز باقي مي ماند. از اين رو در بيشتر مدل سازي هاي صورت گرفته قسمت ترکدار را با يک فنر پيچشي مدل مي کنند، يعني تير مانند شکل 2-1 الف در قسمت ترک به دو بخش تقسيم شده که اين دو بخش با اين فنر پيچشي به هم متصل مي شوند مانند شکل 2-1 ب. نکته مهم در اين مدل سازي پيدا کردن سفتي فنر مي باشد. براي پيدا کردن سفتي فنر با استفاده از علم مکانيک شکست يک رابطه بر حسب عمق ترک تخمين زده مي شود. که اين روابط در پيوست آورده شده است. اما در مدل ارائه شده در اين پژوهش به جاي آنکه از فنر و روابط مکانيک شکست استفاده کنيم، در موقعيت ترک، يک تير قرار مي دهيم که اين تير با توجه به عمق ترک داراي گشتاور دوم سطحي متفاوت از قسمت هاي بدون ترک تير مي باشد. با اين مدل ديگر نياز به استفاده از سفتي فنر پيچشي و استفاده از روابط مکانيک شکست نمي باشد.
(الف)(ب)شکل ‏2-1:الف، تير به طول با يک ترک به عمق در موقعيت نشان داده شده .ب)همان تير با فنر پيچشي جايگزين ترک با سفتي
معادلات ارتعاش آزاد
در اين قسمت به بررسي معادلات حرکت و شرايط پيوستگي با استفاده از تئوري هاي اويلر- برنولي و تيموشنکو براي تير ترکدار با مدل سازي بيان شده مي پردازيم.
تئوري اويلر – برنولي
تيري به طول l و ارتفاع h و ضخامت b و ترکي به طول دهانه d_o و عمق h_c در موقعيت نشان داده شده، مانند شکل 2-2 در نظر بگيريد. همان طور که قبلا بيان شد قسمت ترکدار تير را با يک تير که ممان اينرسي متفاوتي نسبت به مقاطع بدون ترک دارد، مدل سازي مي کنيم. معادلات حرکت با فرض تئوري اويلر- برنولي براي هر قسمت تير به صورت زير است:
شکل ‏2-2: تير ترکدار به طول L ، ارتفاع h، عمق ترک h_c و طول دهانه d_o براي قسمت ابتدايي تير يعني از ابتداي تير تا ابتداي ترک:
(2-1) با معرفي پارامترهاي بي بعد و روش جداسازي متغيرها، معادله حرکت و شکل مد قسمت اول برابر است با:
(2-2)(2-3)(2-4) براي قسمت ترکدار تير، معادلات حرکت به صورت زير است:
(2-5) با معرفي پارامترهاي بي بعد و روش جداسازي متغيرها، معادله حرکت و شکل مد قسمت دوم برابر است با:
(6-2)(7-2)(8-2)
براي قسمت انتهايي تير يعني از انتهاي ترک تا انتهاي تير:
(2-9)(2-10) با معرفي پارامترهاي بي بعد و روش جداسازي متغيرها معادله حرکت و شکل مد قسمت سوم برابر است با:
(2-11)(2-12)(2-13) پارامترهاي بي بعد براي پيدا کردن فرکانس طبيعي براي هر قسمت تير برابر است با:
(2-14) با توجه به برابر بودن فرکانس طبيعي براي تير، رابطه بين پارامترهاي بي بعدو برابر است با:
(2-15)(2-16)(2-17) گشتاور خمشي و نيروي برشي طبق تئوري اويلر – برنولي اينگونه تعريف مي شود:
(2-18)EI (d^2 w)/(dx^2 ):خمشي گشتاور (2-19)EI (d^3 w)/(dx^3 ) : برشي نيروي شرايط پيوستگي در دو سمت ترک به ترتيب از برابري جابجايي، شيب، گشتاور خمشي و نيروي برشي بدست مي آيد:
برابري جابجايي:
(2-20) برابري شيب:
(2-21) برابري گشتاور خمشي:
(2-22) برابري نيروي برشي:
(2-23)
که براي تير با يک ترک خواهد بود.
با اعمال شرايط پيوستگي 8 ثابت از 12 ثابت موجود محاسبه مي شود، 4 ثابت باقيمانده از شرط مرزي ابتدا و انتهاي تير بدست مي آيد. در قسمت بعد مسئله را براي شرايط مرزي مختلف بررسي مي کنيم.
تير دو سر گيردار
تير دو سرگيردار با يک ترک، در موقعيت نشان داده شده، مانند شکل2-3 در نظر مي گيريم:
شکل ‏2-3 تير دو سر گير دار براي پيدا کردن فرکانس طبيعي و ثابت هاي مجهول، ماتريس ضرايب را با استفاده از شرايط مرزي و شرايط پيوستگي بدست مي آوريم. براي تير دو سرگيردار در ابتدا و انتهاي تير، جابجايي و شيب برابر صفر مي باشد.
شرط مرزي ابتداي تير :
(2-24)(2-25)(2-26) با اعمال شرايط پيوستگي در دو طرف ترک و استفاده از روابط (2-20) تا (2-23)، در سمت چپ ترک، يعني در موقعيت خواهيم داشت:
برابري جابجايي:
(2-27) برابري شيب:
(2-28) برابري گشتاور خمشي:
(2-29) برابري نيروي برشي:
(2-30) در سمت راست ترک، يعني در موقعيت نيز روابط زير را خواهيم داشت:
برابري جابجايي:
(2-31) برابري شيب:
(2-32) برابري گشتاور خمشي:
(2-33) برابري نيروي برشي:
(2-34) براي قسمت انتهايي تير، يعني خواهيم داشت:
(2-35)(2-36) بنابراين ماتريس ضرايب عبارتند از:

معادله فرکانسي، همان دترمينان ماتريس ضرايب مي باشد و از برابر صفر قرار دادن دترمينان ماتريس ضرايب و جايگذاري روابط بين و فرکانس طبيعي بدست خواهد آمد.
براي ساير شرايط مرزي تنها شرايط مرزي ابتدا و انتهاي تير، يعني دو سطر اول و دو سطر آخر در ماتريس ضرايب تغيير خواهد کرد.
تير يک سر گيردار- يک سر آزاد
براي تير يکسر گيردار مانند شکل 2-4 شرايط مرزي ابتدا و انتهاي تير به صورت زير خواهد بود:
شکل ‏2-4: تير يک سر گير دار – يک سر آزاد در ابتداي گيردار مانند معادلات (2-25) و (2-26)، جابجايي و شيب برابر صفر است، و در انتهاي آزاد نيز گشتاور خمشي و نيروي برشي برابر صفر مي باشد.
(2-37)(2-38)تير دو سرلولا
براي دو سرلولا، مانند شکل 2-5 شرايط مرزي ابتدا و انتهاي تير به صورت زير خواهد بود:
شکل ‏2-5 تير دو سر لولا در ابتداي تير، جابجايي طبق معادله (2-25) و گشتاور خمشي برابر صفر است:
(2-39) در انتهاي تير، جابجايي طبق معادله (2-35) و گشتاور خمشي با معادله (2-37)، برابر صفر است.
تير گيردار- مفصل برشي
براي تير گيردار- مفصل برشي مانند شکل 2-6 شرايط مرزي ابتدا و انتهاي تير به صورت زير خواهد بود:
شکل ‏2-6: تير گيردار – مفصل برشي (در مفصل برشي، شيب و نيروي برشي صفر است.) در ابتداي گيردار، جابجايي و شيب، مانند معادلات (2-25) و (2-26) برابر صفر است. در انتهاي مفصل برشي، شيب و نيروي برشي برابر صفر است:
(2-40)(2-41) در فصل بعد به ارائه نتايج با تغيير پارامترهاي موثر و مختلف ترک و مقايسه آنها با يکديگر مي پردازيم.
تئوري تيموشنکو
در اين قسمت با استفاده از همان مدل سازي قبلي، به بررسي معادلات حرکت و بررسي شرايط مرزي مختلف با استفاده از تئوري تيموشنکو مي پردازيم. تفاوت اين قسمت با قسمت قبلي اين است که در تئوري تيموشنکو، معادلات حرکت و تعاريف مربوط به شيب، گشتاور خمشي و نيروي برشي متفاوت است. روند کار مشابه قسمت قبل است يعني با استفاده از دترمينان ماتريس ضرايب و معادله فرکانسي، فرکانس هاي طبيعي بدست مي آيد. به دليل آنکه در تئوري تيموشنکو، اثر تغيير شکل برشي و تنش برشي در نظر گرفته مي شود، فرکانس طبيعي بدست آمده از تئوري اويلر – برنولي کمتر است.



قیمت: تومان


پاسخ دهید